施工监测信息化在高速铁路大断面软弱围岩隧道中的应用

有限元法自20世纪50年代发展至今已经成为工程数值分析的有力工具，特别是在固体力学和结构力学分析领域内，利用它已经成功地解决了一批有重大意义的问题（伍丽芬，2011）。

有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛且实用高效的数值分析方法。

有限元法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于，它的近似性仅限于相对小的子域中。有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解，采用不同的权函数和插值函数，便构成不同形式的有限元法。

有限元法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢应用于固体力学和流体力学的数值模拟。在有限元法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看作由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。(www.xing528.com)

在数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的，如里兹法、伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元法可分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格；从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合，同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数（张中安和罗富荣，2001）；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方和误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点，令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的是多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类：一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。

单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用得最早，近来四边形等单元的应用也越来越广泛。对于二维三角形和四边形单元，常采用的插值函数为Lagrange插值、直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数等。

用有限元法求解隧道问题，以节点的位移为未知量，通过求解一系列相关方程，将应变、应力用位移分量表示。有限元分析的关键在于首先进行单元特性分析，然后进行总体分析。而单元特性分析的关键又在于利用节点位移和应力应变关系以及插值函数来求得单元的刚度矩阵。应当指出，无论是考虑弹性、塑性或者黏性状态，岩土工程有限元分析中几乎都采用连续体的假设。对于没有抗拉能力的节理、裂隙等岩体，则可以采用一些不连续的特殊单元来模拟。