1.1.1 测量误差的概念及来源
任何观测量，客观上总是存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值或理论值。但在测量时，同一个量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间普遍存在差异，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。若用L表示观测值，X表示真值，则观测误差Δ的定义为
Δ=L-X
测量误差的产生，原因很多，概括起来有以下三个方面。
1.观测者
由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器安置、照准、整平、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2.测量仪器
测量工作通常都是利用测量仪器进行的。由于仪器的精密度有限，观测值的精度受到一定的限制。例如，在用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测量时，就难以保证在估读厘米以下的尾数时完全正确无误；同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差。例如，水准仪的视准轴不平行于水准轴；水准尺的分划误差等。因此，使用这样的水准仪和水准尺进行观测，就会使得水准测量的结果产生误差。同样，经纬仪、测距仪等的仪器误差也使三角测量、距离测量的结果产生误差。
3.外界条件
观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系，观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为非等精度观测。
1.1.2 测量误差的分类
测量误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和偶然误差两种。
1.系统误差
在相同的观测条件下，对某量作一系列的观测，若误差的大小及符号均相同或按一定的规律变化，这类误差称为系统误差。产生系统误差的主要原因是测量仪器和工具的构造不完善。例如，用一把名义为50m长、实际长度为50.020m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量0.02m，该0.02m的误差在数值上和符号上都是固定的，该尺全长要比实际长度短0.02m。总误差的大小与所量的距离的多少成正比，距离越长，误差积累越多。
系统误差的积累性对测量结果影响很大，但是系统误差符号和大小具有一定的规律，所以系统误差可采取一定的措施加以减弱或消除，其常用的措施有：
（1）精确检校仪器，把系统误差降低到最小。
（2）采用增加改正数的计算方法，抵消测量结果中的系统误差，如尺长改正、温度改正等。
（3）采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如采用测回法观测水平角可以消除视准轴误差、度盘偏心差等。
2.偶然误差
在相同的观测条件下，对某量作一系列的观测，若误差在符号和大小都没有表现出一致的倾向，即从单个或少数几个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。(www.xing528.com)
例如用经纬仪测角时，测角误差是由照准误差、读数误差、外界条件变化所引起的误差、仪器本身不完善而引起的误差等综合作用的结果。而其中每一项误差是由许多偶然（随机）因素所引起的小误差的代数和。例如照准误差可能是由于脚架或测钎晃动或扭转、风力风向的变化、目标的背景、大气折光和大气透明度等偶然因素影响而产生的小误差代数和。因此，测角误差实际上是许许多多微小误差项的总和，而每项微小误差又随着偶然因素的影响不断变化，其数值忽大忽小，其符号或正或负，这样，由它们所构成的总和，就其个体而言，无论是数值的大小或符号的正负是不能事先预知的，因此，把这种性质的误差称为偶然误差。
除上述两类误差之外，还可能发生错误，也称粗差，如读错、记错等。这主要是由于粗心大意而引起。一般粗差值大大超过系统误差或偶然误差。粗差不属于误差范畴，粗差的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，甚至造成返工。因此必须采取适当的方法和措施，杜绝错误发生。
1.1.3 偶然误差的特性
偶然误差是由多种因素综合影响产生的，观测结果中不可避免地存在偶然误差，因而偶然误差是误差理论主要研究的对象。就单个偶然误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的统计规律性，并且是服从正态分布的随机变量。即在相同观测条件下，大量偶然误差分布表现出一定的统计规律性。
例如，在相同观测条件下，观测了217个三角形的全部内角，三角形内角观测值之和L不等于真值180°，其差值Δ称为真误差，可由式（3.1）计算，式中X表示真值。
先取误差区间的间隔dΔ=0.3″，将这一组误差按其正负号与误差值的大小排列。出现在某区间内误差的个数称为频数，用K表示，频数除以误差的总个数n得K/n，称为误差在该区间的频率，统计结果列于表3.1。
表3.1 频率分布表
从表3.1中可以看出：小误差出现的频率大，大误差出现的频率小；绝对值相等的正负误差出现的百分比相仿；绝对值最大的误差不超过某一个定值。在其他测量结果中也可显示出上述同样的规律。通过大量实验统计结果表明，特别是当观测次数较多时，可以总结出偶然误差具有如下特性：
（1）有限性。在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。
（2）密集性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大。
（3）对称性。绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等。
（4）抵偿性。当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即
式中 [Δ]——误差总和的符号，换言之，偶然误差的理论平均值为零。
为了充分反映误差分布的情况，除去上述用表格的形式（称误差分布表），还可以用直观的图形来表示。例如：图3.1中以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差出现的频率除以区间的间隔值，即
。这样，每一误差区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的频数。例如，图中有斜线的长方形面积就代表误差出现在+6″～+9″区间内的频数0.069，这种图称为直方图，其特点是能形象地反映出误差的分布情况。
如果继续观测更多的三角形，即增加误差的个数，当n→∞时，各误差出现的频率也就趋近于一个完全确定的值，这个数值就是误差出现在各区间的概率。此时如将误差区间无限缩小，那么图3.1中各长方形顶边所形成的折线将成为一条光滑的连续曲线，如图3.2所示，这条曲线称为误差分布曲线，也称正态分布曲线。曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标Δ的函数，其函数形式为
式中 e——自然对数的指数（e=2.7183）；
σ——观测值的标准差（将在下节讨论），其平方σ2称为方差。
图3.1 频率直方图
图3.2 正态分布图
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