偏心受压构件正截面承载力计算-结果简述

时间：2023-08-28 理论教育版权反馈

【摘要】：钢筋混凝土偏心受压构件正截面承载力计算的基本假定与受弯构件完全相同，参见2.3节。小偏心受压构件截面实际应力分布图形如图2.4-7所示，计算应力图形如图2.4-8所示。2）σs的简化计算式如图2.4-10所示，式中σs与ξ的关系为双曲线函数，而σs值对小偏心受压正截面承载力影响很小，因此采用如下简化公式，用直线方程代替双曲线方程。

偏心受压构件正截面承载力计算-结果简述

1.偏心受压构件的纵向弯曲

当长细比较小时，偏心受压构件的纵向弯曲变形很小，附加弯矩的影响可忽略。因此《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定：弯矩作用平面内对称的偏心受压构件，当同一主轴方向的杆端弯矩比M₁/M₂不大于0.9且设计轴压比不大于0.9时，若构件的长细比满足式（2.4-5）的要求，可不考虑轴向压力在该方向挠曲杆件中产生的附加弯矩影响；否则应按截面的两个主轴方向分别考虑轴向压力在挠曲杆件中产生的附加弯矩影响。

l_c/i≤34-12（M₁/M₂）（2.4-5）

式中 M₁、M₂——已考虑侧移影响的偏心受压构件两端截面按弹性分析确定的对同一主轴的组合弯矩设计值，绝对值较大端为M₂，绝对值较小端为M₁，当构件按单曲率弯曲时，M₁/M₂取正值，否则取负值；

l_c——构件的计算长度，可近似取偏心受压构件相应主轴方向上下支撑点之间的距离；

i——偏心方向的截面回转半径。

除排架结构柱外，其他偏心受压构件考虑轴向压力在挠曲杆件中产生的二阶效应后控制截面的弯矩设计值应按下列公式计算：

式中 C_m——构件端截面偏心距调节系数，当小于0.7时取0.7；

η_ns——弯矩增大系数；

N——与弯矩设计值M₂相应的轴向压力设计值；

ζ_c——截面曲率修正系数，当计算值大于1.0时取1.0；

e_a——附加偏心距，其值应取20mm和偏心方向截面最大尺寸的1/30两者中的较大值；

h——截面高度：对环形截面，取外径；对圆形截面，取直径；

h₀——截面有效高度：对环形截面，取h₀=r₂+r_s；对圆形截面，取h₀=r+r_s；此处，r为圆形截面的半径；r₂为环形截面的外半径；r_s为纵向普通钢筋重心所在圆周的半径；

A——构件截面面积。

当C_mη_ns小于1.0时取1.0；对剪力墙及核心筒墙，可取C_mη_ns等于1.0。

2.矩形截面偏心受压构件正截面承载力计算基本公式

（1）基本假定。钢筋混凝土偏心受压构件正截面承载力计算的基本假定与受弯构件完全相同，参见2.3节。

图2.4-6 大偏心受压应力计算图形

a）实际应力分布图 b）计算图形

（2）大偏心受压构件基本计算公式（ξ≤ξ_b）大偏心受压构件破坏时，其受拉及受压纵向钢筋均能达到屈服强度，受压区混凝土应力为抛物线形分布，如图2.4-6a所示。为简化计算，同样可以用矩形应力分布图形来代替实际的应力分布图（图2.4-6b），混凝土压应力取轴心抗压强度设计值f_c乘以系数α₁，受压区高度为x，则根据纵向力的平衡和对受拉钢筋合力点的力矩的平衡可得

式中 N——轴向力设计值；

e——轴向力作用点至纵向受拉钢筋A_s合力点之间的距离；

e_i=e₀+e_a （2.4-13）

e_i——初始偏心距；

e₀——轴向压力对截面重心的偏心距取为M/N；

e_a——附加偏心距，其值取20mm和偏心方向截面最大尺寸的1/30两者中的较大值。

基本公式的适用条件为：

1）为保证受拉钢筋A_s达到屈服，应满足x≤ξ_bh₀。

2）为保证构件破坏时受压钢筋A_s′达到屈服，应满足x≥2a_s′或z≤h₀-a_s′，z为受压区混凝土合力与受拉钢筋合力之间的内力臂。

（3）小偏心受压构件基本计算公式（ξ＞ξ_b）小偏心受压构件破坏时的应力分布图形可能是全截面受压或截面部分受压、部分受拉。离纵向力较近一侧的受压钢筋A′_s，都能达到屈服强度；而远离纵向力一侧的钢筋A_s则可能受压或受拉，其应力为σ_s，往往都未达到屈服强度。小偏心受压构件截面实际应力分布图形如图2.4-7所示，计算应力图形如图2.4-8所示。根据纵向力的平衡和对受拉钢筋（或受压较小钢筋）合力点的力矩平衡可得

式中 x——受压区高度，当x＞h时，取x=h；

σ_s——远离纵向力一侧钢筋的应力。

图2.4-7 小偏心受压实际应力分布图

图2.4-8 小偏心受压计算图形

a）A_s受拉 b）A_s受压

钢筋应力σ_s可用下面两种方法确定：

1）用平截面假定条件，确定σ_s值由图2.4-9可得：

根据基本假定，取x=β₁x_c，当构件压坏时取ε_c=ε_cu，同时取则得

当σ_s＞0时，A_s受拉；反之，当σ_s＜0时，A_s受压。σ_s、ξ关系如图2.4-10所示。

2）σ_s的简化计算式

如图2.4-10所示，式（2.4-16）中σ_s与ξ的关系为双曲线函数，而σ_s值对小偏心受压正截面承载力影响很小，因此采用如下简化公式，用直线方程代替双曲线方程。

当ξ=ξ_b时，即大、小偏压分界，取σ_s=f_y；当ξ=β₁，即，x=β₁x_c，则，此时中和轴高度x_c=h₀，故取σs=0；通过以上两点可得σ_s-ξ的线性方程为

图2.4-9 截面应变

3.矩形截面偏心受压构件非对称配筋计算与承载力校核

根据设计经验和理论分析，对于非对称配筋的偏心受压构件，在常用的配筋范围内可以采用如下条件来判别大小偏压：

当e_i≤0.3h₀时按小偏心受压计算；

当e_i＞0.3h₀时按大偏心受压计算。

在承载力校核时不应像截面配筋设计那样按偏心距e₀的大小来作为两种偏心受压情况的分界。因为在截面尺寸、偏心距以及配筋面积A_s、A_s′均已确定的条件下，受压区高度即已确定。所以应根据x的大小或ξ的大小来判别大、小偏压。

（1）大偏心受压构件截面设计

1）已知b，h，f_c，f_y，f′_y，M₁，M₂，N，求A_s，A_s′

图2.4-10 σ_s-ξ关系图

当e_i＞0.3h₀时可按大偏心受压设计，为充分利用受压区混凝土的抗压作用，令x=ξ_bh₀，代入式（2.4-11）可得

对于所求出的A′_s要进行判定，以确定A_s的计算方法。

ρ′_min为受压钢筋最小配筋率，可取0.002，则A′_s，min=ρ′_minbh。

2）已知b，h，f_c，f_y，f′_y，M₁，M₂，N，A′_s，求A_s

此种情况即为已知A′_s求A_s，为了利用图表可将式（2.4-11）写成

Ne=α₁α_sbh²₀f_c+A′_sf′_y（h₀-a′_s）（2.4-19）

式中 α_s=ξ（1-0.5ξ）

由式（2.4-19）可得

根据α_s，由下式计算ξ值：

应根据求解出的受压区高度x来确定A_s的计算方法。

设计中出现x＜2a_s′的情况，说明压区高度很小，受压钢筋的应变ε_s′亦很小，σ′_s=ε_s′E_s，达不到屈服强度，所以基本公式已经不适用。此时可对受压筋A′_s取矩（图2.4-11）并近似认为压区混凝土的合力通过A_s′重心。

在已知A_s′求A_s的情况下还可能会出现由式（2.4-20）求出的α_s＞α_s，max=ξ_b（1-0.5ξ_b），这说明A_s′过小，可增大A_s′后重新计算；也可按A_s、A_s′均为未知的情况求A_s′和A_s。

图2.4-11 x＜2a_s′

【例2.4-3】已知：荷载作用下柱的轴向力设计值N=300kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=189kN·m，截面尺寸b=300mm，h=400mm，a_s=a_s′=40mm，混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB400，柱计算长度为l_c=5m。

求：钢筋截面面积A_s′及A_s。

解答：求柱弯矩设计值M

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

按大偏心受压情况计算。

e=e_i+h/2-a_s=（692+400/2-40）mm=852mm

令ξ=ξ_b

受拉钢筋A_s选用522（A_s=1900mm²）；受压钢筋A_s′选用314（A_s′=461mm²）。

【例2.4-4】已知条件同【例2.4-3】，并已知受压钢筋为316（HRB400，A′_s=603mm²）。

求：受拉钢筋截面面积A_s。

解答：

实配520（A_s=1570mm²）

比较【例2.4-3】和【例2.4-4】可知，当取ξ=ξ_b（x=ξ_bh₀）时求出的总用钢量要少些。

【例2.4-5】已知矩形截面偏心受压构件，截面尺寸b×h=400mm×600mm，轴向力设计值N=500kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=298kN·m，柱计算长度为l_c=6.5m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400，a_s=a_s′=40mm。试求A_s、A_s′。

解答：

求柱弯矩设计值M

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

按大偏心受压情况计算。

e=e_i+h/2-a_s=（663.7+600/2-40）mm=923.7mm

令ξ=ξ_b

故按最小配筋率配A_s′=ρ′_minbh=0.002×400×600mm²=480mm²

实配218A_s′=509mm＞ρ′_minbh

实配420（A_s=1256mm²）

【例2.4-6】已知一偏心受压构件b×h=300mm×500mm，a_s=a_s′=45mm，轴向力设计值N=300kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=200kN·m，柱计算长度为l_c=4m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400，受压钢筋为420，试求受拉钢筋面积A_s。

解答：

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

按大偏心受压情况计算。

实配322（A_s=1140mm²）

（2）小偏心受压构件截面设计当e_i≤0.3h₀时可按小偏心受压设计。由于小偏压构件离纵向力较远一侧的钢筋A_s一般不屈服，钢筋的应力σ_s是ξ的函数，当把式（2.4-16）或式（2.4-17）表示的钢筋应力σ_s代入到小偏压承载力计算的基本公式（2.4-14）中去可以看出，小偏压两个基本计算公式中（式（2.4-14），式（2.4-15））含有三个未知量即A_s，A_s′，x（或ξ），因此必须补充一个条件才能求解A_s和A_s′。

补充条件的建立应考虑经济、可靠。因离纵向力较远一侧的钢筋A_s一般情况下不屈服，所以，可取A_s=ρ′_m_inbh，这种取法当偏心距相对较大（e_i比较接近0.3h₀）是可行的。但是，当轴向力N很大且偏心距很小时，取A_s=ρ′_m_inbh显然是不安全的，因为由于A_s配置过少，此时，破坏可能始自A_s一侧（压坏）。为了避免这种破坏的发生，《混凝土结构设计规范》规定，当N＞f_cA时，尚应根据图2.4-12所示计算应力图形，按下列公式进行验算：

则

所以对于小偏心受压构件在确定离纵向力较远一侧的钢筋面积A_s时应由两个条件控制即

A_s≥ρ′_m_inbh

图 2.4-12

a）实际应力图形 b）计算应力图形

且A_s≥由式（2.4-23）确定的面积

当A_s选定后，即可将A_s代入基本式（2.4-14）、式（2.4-15），并取，则可得出关于受压区高度x（或ξ）的一元二次方程，经整理可得：

Ax²+Bx+C=0

式中 A=0.5α₁f_cb （2.4-24a）

所以受压区高度

当x＞h时，取x=h

x确定之后即可由式（2.4-15）求得A_s′

【例2.4-7】已知：矩形截面偏心受压构件，截面b×h=400mm×600mm，a_s=a′_s=45mm，轴向力设计值N=3100kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=80kN·m，柱计算长度为l_c=7.2m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400。试求钢筋面积A_s、A_s′。

解答：

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

按小偏心受压情况计算

按最小配筋率配A_s=ρ_minbh=0.002×400×600mm²=480mm²

实配218 A_s=509mm＞ρ_minbh

由式（2.4-24），得：

实配318（A_s′=763mm²）

（3）偏心受压构件的承载力校核。偏心受压构件，当已知构件截面尺寸、偏心距的大小、构件计算长度、混凝土和钢筋的强度等级、钢筋的截面面积A_s和A_s′，进行承载力校核时，一般情况要先求出受压区高度x，然后计算出N_u，如果γ₀N≤N_u则证明是安全的，否则是不安全的。

1）大偏心受压构件大偏心受压构件受压区高度x（图2.4-6），可由对纵向压力作用点取矩求得：

所以

当纵向压力作用在A_s、A_s′之间取正号；纵向压力作用在A_s、A_s′之外取负号。

①当2a_s′≤x≤ξ_bh₀时，则可用大偏心受压的基本公式（2.4-10）确定截面的承载力N_u，然后与已知的N比较看其是否安全。

②当x＜2a_s′时，证明受压筋A_s′不屈服，此时，可由式（2.4-22）确定截面承载力，即。

③当x＞ξ_bh₀时则应按小偏心受压构件进行正截面承载力校核。

2）小偏心受压构件小偏心受压构件的受压区高度x（图2.4-8），同样也可由对纵向压力作用点取矩求得：

式中，钢筋应力σ_s可采用简化式，以降低方程的次数（如采用精确式则需解x或ξ的三次方程），即取

将σ_s代入式（2.4-26）可得x的一元二次方程，即

A′x²+B′x+C′=0

式中 A′=0.5α₁f_cb （2.4-27a）

将求得的x值（x＞ξ_bh₀）代入式（2.4-27）即可求出钢筋的应力σ_s。

此时截面的承载力为

N_u=α₁f_cbx+A_s′f_y′-A_sσ_s

如果γ₀N≤N_u则是安全的，否则是不安全的。

在偏心受压构件承载力校核时，经常会碰到无法判定究竟属于大偏压还是小偏压的情况。此时可先按大偏压进行承载力校核，当按式（2.4-25）计算的x≤ξ_bh₀时，则证明确实属于大偏压；如果x＞ξ_bh₀时则证明原来假定大偏压是错误的，实际为小偏压，应重新按式（2.4-27）求x，按小偏压进行承载力校核。

承载力校核时，虽然不能直接根据偏心距的大小来判定大、小偏压，但也可以参考。例如当e_i＞0.3h₀时，可先按大偏压进行校核；当e_i＜0.3h₀时可先按小偏压进行校核；但最后还是要根据x值或ξ值的大小来判定大小偏压，偏心距只不过起个参考作用。

3）偏心受压构件垂直于弯矩作用平面的承载力校核偏心受压构件除进行弯矩作用平面的承载力校核外，还应进行垂直于弯矩作用平面（平面外）的承载力校核。因为偏心受压构件还可能由于柱子长细比较大，在与弯矩作用平面相垂直的平面内发生纵向弯曲而破坏。在这个平面内是没有弯矩的，因此应按轴心受压进行承载力校核，计算时必须考虑稳定系数φ，并且长细比为l₀/b，l₀为平面外的计算长度。

【例2.4-8】已知：一矩形截面偏心受压构件，截面b×h=500mm×700mm，a_s=a′_s=45mm，混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB400，f_y=360MPa，ξ_b=0.518，A_s为625（A_s=2945mm²），A_s′为425（A_s′=1964mm²）柱计算长度为l_c=12.25m，轴向力的偏心距e₀=460mm（考虑附加弯矩影响后）。

求：截面所能承受的轴向力设计值N。

解答：

e_a=max（h/30，20）mm=max（700/30，20）mm=23mm

e_i=e₀+e_a=（460+23）mm=483mm＞0.3h₀=196.5mm

N=α₁f_cbx+f_y′A_s′-f_yA_s=14.3×500×331.9+360×1520-360×308=2809（kN）(www.xing528.com)

【例2.4-9】已知：矩形截面偏心受压构件，截面b×h=250mm×550mm，a_s=a′_s=45mm，构件计算长度l_c=4.5m，混凝土为C30，钢筋采用HRB400，ξ_b=0.518，受压钢筋为422（A_s′=1520mm²），受拉钢筋为214（A_s=308mm²），承受偏心距e₀=50mm（考虑附加弯矩影响后）的设计偏心压力N=1500kN，试校核承载力是否满足要求。

解答：

①求受压区高度x

e_a=max（h/30，20）mm=max（550/30，20）mm=20mm

e_i=e₀+e_a=（50+20）mm=70mm＜0.3h₀=151.5mm

故此时可先按小偏心受压进行承载力计算（如此时用大偏心受压承载力校核式（2.4-25）求x，则可得x＞ξ_b，同样可以得出属于小偏心受压的结论）。

舍去一根，取x=488mm＞ξ_bh₀=0.518×505mm=261.6mm

故按小偏心受压进行承载力校核。

②求σ_s

③计算N_u

N_u=α₁f_cbx+f_y′A_s′-σ_sA_s=14.3×250×488+360×1520+8×308=2294（kN）＞N

④垂直于弯矩平面的承载力校核

l₀/b=4.5/0.25=18，查表2.4.1得φ=0.81

N_u=0.9φ（Af_c+A_s′f_y′+A_sf_y′）=0.9×0.81×（250×550×14.3+1520×360+308×360）kN

=1913kN＜N

⑤结论 N=1500kN＜N_u=1913kN，满足承载力要求。

4.对称配筋矩形、Ⅰ形截面偏心受压构件承载力计算

对称配筋的偏心受压构件。其受力性能大体上与非对称配筋基本相同，但由于附加了一个补充条件即A_s=A_s′，使具体计算略有差别。

（1）矩形截面对称配筋

1）大、小偏压的分界（ξ=ξ_b）对称配筋因A_s=A_s′，当发生界限破坏时，受拉钢筋A_s先屈服，可取f_y=f_y′，由式（2.4-10）可得：

N_b=α₁f_cbh₀ξ_b （2.4-28）

所以对称配筋的判别条件为：

N＞N_b 为小偏压破坏

N≤N_b 为大偏压破坏（含界限破坏）

或者根据相对受压区高度ξ来判别，即

2）大偏心受压构件（ξ≤ξ_b）由基本公式（2.4-10）得：

当时，

Ne≤α₁f_cbh²₀ξ（1-0.5ξ）+A_s′f_y′（h₀-a_s′）

故得

当时，

Ne′≤A_sf_y（h₀-a_s′）

故得

3）小偏心受压构件（ξ＞ξ_b）由基本公式（2.4-14）得：

所以

又由力矩的平衡方程式得：

即

上式为ξ的三次方程，直接求解很繁琐。

《混凝土结构设计规范》给出了简化方法，小偏心受压时ξ的常用范围为ξ=0.6～1.0，近似取ξ（1-0.5ξ）≈0.43

这样把ξ的三次方程降为ξ的一次方程，经整理后得：

当ξ值求出后仍可利用式（2.4-30）求A_s=A_s′，即

应该指出，《混凝土结构设计规范》给出的ξ值近似表达式（2.4-31）可以使小偏压设计得到简化，并在一定范围内精确解和近似解的误差不大，但在某些条件下，近似解与精确解相差较大，有时偏于不安全，有时造成浪费。其主要原因是配筋量的误差不仅与ξ（1-0.5ξ）值的误差有关，还与荷载的组合情况有关。

矩形截面偏心受压构件对称配筋的计算步骤，可以用程序框图2.4-13表示。

【例2.4-10】一偏心受压柱，截面尺寸b×h=400mm×600mm，a_s=a′_s=45mm，计算长度l_c=5.4m，轴向力设计值N=1200kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=±420kN·m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400，试进行截面的配筋设计。

解答：

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

图2.4-13 矩形截面偏心受压构件对称配筋计算框图

按大偏心受压情况计算

【例2.4-11】已知条件同【例2.4-10】，承受设计内力组合为M₁=M₂=±420kN·m；N=2000kN，试进行配筋设计。

解答：

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

应按小偏心受压计算，需重新计算ξ。

每侧实配520（A_s=A_s′=1570mm²）

每侧实配425（A_s=A_s′=1964mm²）

（2）Ⅰ形截面对称配筋

1）大偏心受压大偏心受压时A_s和A_s′都可屈服，因采用对称配筋，故A_sf_y=A_s′f_y′，基本计算公式可由力和力矩的平衡得出，分如下两种情况：

①当x＞h_f′时，则应考虑腹板的受压作用，见图2.4-14a。按下列公式计算。

②当x≤h_f′时，则按宽度b_f′的矩形截面计算，见图2.4-14b。

式中 b_f′——Ⅰ字形截面受压区翼缘宽度；

h_f′——Ⅰ字形截面受压区翼缘高度。

基本公式的适用条件如下：

为了保证上述计算公式中的受拉钢筋A_s及受压钢筋A_s′能达到屈服强度，要满足下列条件：

x≤x_b及x≥2a_s′

式中 x_b——界限破坏时，受压区计算高度。

在进行截面配筋设计时，可将Ⅰ形截面假想为宽度是b_f′的矩形截面，由式（2.4-34）得：

图2.4-14 Ⅰ形截面大偏压计算图形（A_s=A_s′）

按x值的不同可分为三种情况：

①当2a_s′≤x≤h_f′时，证明中和轴在翼缘内。此时，可以按b_f′×h的矩形计算，即由式（2.4-34）及式（2.4-35）求得钢筋面积。

②当x＜2a_s′时，证明A_s′不屈服，则如同双筋受弯构件一样，对A_s′取矩，并近似取x=2a_s′，用下式计算：

式中 e′=e_i-h/2+a_s′

③当x＞h_f′时，证明中和轴进入腹板，此时应按式（2.4-32）重新计算x，代入式（2.4-33）求钢筋面积。

2）小偏心受压由于偏心距的大小和配筋数量的不同，中和轴可能位于腹板内，或位于受压应力较小一侧的翼缘内。

①中和轴位于腹板（x≤h-h_f）（图2.4-15a），这时的基本公式为

N≤α₁f_cbx+α₁f_c（b_f′-b）h_f′+f_y′A_s′-σ_sA_s （2.4-36）

式中，σ_s由式（2.4-17）计算。

图2.4-15 Ⅰ形截面小偏心受压

②中和轴在翼缘中（x＞h-h_f）

这时受压应力较小一侧的翼缘中（图2.4-15b），有一厚度为h_f+x-h的区域亦为受压，这时基本公式为

上式中σ_s值仍按式（2.4-17）计算。当x＞h，计算承载力N值时，取x=h。

对于Ⅰ形截面对称配筋小偏心受压构件，当采用比较精确的配筋计算方法时，仍不可避免地要解ξ（或x）的三次方程，计算比较繁琐。故当x＜h-h_f时也可以采用与矩形截面小偏心受压构件类似的简化方法进行配筋计算。

这时可将受压翼缘所能承受的轴向压力和弯矩从设计内力中扣去，剩下的轴力N′和弯矩（Ne）′由对称配筋的矩形腹板来承受，即令

将N′和（Ne）′代入矩形截面的简化计算公式来计算钢筋用量，其计算公式为

【例2.4-12】一钢筋混凝土柱，其截面形状为I字形，具体尺寸见图2.4-16，a_s=a_s′=45mm，η_ns=1.0，混凝土采用C30，钢筋为HRB400，ξ_b=0.518，采用对称配筋，承受轴向力设计值N=1200kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=400kN·m。试求：所需钢筋截面面积A_s和A_s′。