高校自主招生全攻略-电学部分

典型例题

例1　如图所示，用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电荷量都相同的带电小球A和B，两线上端固定于点O，B球固定在点O正下方。当A球静止时，两悬线夹角为θ，能保持夹角θ不变的方法是（　）

A.同时使两悬线长度减半

B.同时使A球的质量和电荷量都减半

C.同时使两球的质量和电荷量都减半

D.同时使两悬线长度和两球的电荷量都减半

同时使两悬线长度减半，则d减半，不能满足上式，A错；

同时使A球的质量和电荷量都减半，上式仍然能满足，B正确；

同时使两球的质量和电荷量都减半，不能满足上式，C错；

同时使两悬线长度和两球的电荷量都减半，则d、q1、q2减半，上式仍然能满足，D正确。故选BD。

例2　带有等量异种电荷的板状电容器不是平行放置的，下列图象中的电场线描绘正确的是（　）

（2012清华大学）

解　两板分别带有等量异种电荷，根据电势差与电场强度的关系式U＝Ed得，板间电势差不变，距离越长，电场强度E越小，电场线越疏，故ABD错误，C正确。故选C。

例3　已知两电源的电动势E1＞E2，当外电路电阻为R时，外电路消耗功率正好相等。当外电路电阻降为R＇时，电源为E1时对应的外电路功率为P1，电源为E2时对应的外电路功率为P2，电源E1的内阻为r1，电源E2的内阻为r2，则（　）

A.r1＞r2，P1＞P2

B.r1＜r2，P1＜P2

C.r1＜r2，P1＞P2

D.r1＞r2，P1＜P2

（2012清华大学）

解　当两个电源分别与阻值为R的电阻连接时，电源输出功率相等，即：由E1＞E2，可得r1＞r2。电源输出电压U与电路中电流I的关系是U＝E﹣Ir。由于两个电路中电流大小相等，两个电源的输出电压随电流变化关系图象应为如图所示的两条相交的直线，交点处的电流为I0，电压为U0＝RI0，从原点向该交点连线，即为电阻R的伏安特性曲线U＝RI。若将R减小为R＇，电路中R＇的伏安特性曲线为U＇＝IR＇，分别与两个电源的输出电压随电流变化关系图象交于两个不同的点。与电源1输出电压随电流变化关系图象的交点处的电流和电压均小于电源2输出电压随电流变化关系图象的交点处的电流和电压值，根据输出功率的定义P＝UI可知，电源1的输出功率小于电源2的输出功率，即P1＜P2。故选D。

例4　匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速度绕图a、b、c、d所示的固定转轴旋转，用Ia、Ib、Ic、Id表示四种情况下线框中电流的有效值，则（　）

A.Ia＝Id

B.Ia＞Ib

C.Ib＞Ic

D.Ic＝Id

解　当线圈在磁场中旋转时，产生的最大感应电动势Em＝NBSω，而且最大值与转轴位置无关，因此各个不同的转轴产生的感应电动势相同，这样，有效值也相同，因此Ia＝Ib＝Ic＝Id。故选A、D。

例5　如图，圆形区域内有一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则等于（　）

解　设圆形区域磁场的半径为r，磁感应强度的大小为B1时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为M（见图甲），由题意知∠POM＝120°，则该带电粒子在磁场中的运动轨迹是以PM为直径的圆。由几何关系得轨迹圆半径为，磁感应强度的大小为B2时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为N（见图乙）。由题意知∠PON＝60°，由几何关系得轨迹圆半径为R2＝r，。故选D。

例6　铁路上使用一种电磁装置向控制中心传输信号以确定火车的位置，能产生匀强磁场的磁铁被安装在火车首节车厢下面，如图所示（俯视图）。当它经过安放在两铁轨间的线圈时，便会产生一个电信号，通过和线圈相连的电压传感器被控制中心接收，从而确定火车的位置。现有一列火车以加速度a驶来，则电压信号关于时间的图象为（　）

（2012清华大学）

解　火车以加速度a驶来，速度逐渐增大，根据法拉第电磁感应定律，线圈中产生的感应电动势逐渐增大，电压信号逐渐增大，产生电压信号的时间缩短，所以电压信号关于时间的图象为D。

例7　如图所示，两个光滑的水平导轨间距为l，左侧连接有阻值为R的电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一质量为m的导体棒以初速度ν0向右运动，设除左边的电阻R外，其他电阻不计。棒向右移动最远的距离为s。当棒运动到λs时（0＜λ＜1），证明此时电阻R上的热功率为

（2012清华大学）

解　取导体棒开始运动时为计时起点，设导体棒向右运动t时刻的速度为ν，由法拉第电磁感应定律，产生的感应电动势E＝Blν，感应电流

导体棒受到的安培力F＝BIl。

解得

注意到此力为变力，将区间［0，t］分为n小段，设第i小段时间间隔为∆t，杆在此段时间间隔的位移为∆χ，规定向右的方向为正，由动量定理，F∆t＝∆ν，

例8　如图，在平面χOy内有磁感应强度为B的匀强磁场，其中χ∈（0，a）内有方向垂直于平面χOy的向里的磁场，在χ∈（a，＋∞）内有方向垂直于平面χOy的向外的磁场，在χ∈（﹣∞，0）内无磁场。一个带正电q、质量为m的粒子（粒子重力不计）在χ＝0处以速度ν0沿χ轴正方向射入磁场。

（1）若ν0未知，但粒子做圆运动的轨道半径为，求粒子与χ轴的交点的横坐标；

（2）若无（1）中的条件限制，粒子的初速度仍为ν0（已知），问粒子回到原点O时，a的值是多少？

（2012清华大学）

解　（1）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设其轨道半径为R，其在第一象限的运动轨迹如图甲所示。此轨迹由两段圆弧组成，圆心分别在点C和点C＇处，轨迹与χ轴的交点为P。由对称性可知点C＇在χ＝2a的直线上。设此直线与χ轴交点为D，P点的χ坐标为χO＝2a＋DP。过两段圆弧的连接点作平行于χ轴的直线EF，则

由此可得点P的χ坐标为

代入题给条件得

（2）若要求带电粒子能够返回原点，由对称性，其运动轨迹如图乙所示，这时C＇在χ轴上。设∠CC＇O＝α，粒子做圆周运动的轨道半径为r，由几何关系得α

轨道半径

设粒子入射速度为ν0，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得

解得

例9　如图所示，电阻为R的长直螺线管，其两端通过电阻可忽略的导线相连接。一个质量为m的小条形磁铁从静止开始落入其中，经过一段距离后以速度ν做匀速运动。假设小磁铁在下落过程中始终沿螺线管的轴线运动且无翻转。

（1）定性分析说明：小磁铁的磁性越强，最后匀速运动的速度就越小；

（2）小磁铁做匀速运动时在回路中产生的感应电动势约为多少？(www.xing528.com)

（2013清华大学）

解　（1）根据楞次定律，小磁铁的磁性越强，通过导线环的磁通量越大，因此下落过程中在导线环中产生的感应电流越大，这些感应电流产生的磁场也越强，从而对小磁铁的阻碍也越大，小磁铁向下运动的加速度越小，因此其极限速度就越小。

（2）设小磁铁做匀速运动时，下落距离h，在此过程中有

式中Q为小磁铁下落时在螺线管中产生的焦耳热，其大小为

式中E是感应电动势，∆t是小磁铁通过距离h所需的时间。由于小磁铁匀速运动，因此有

联立①②③式得

例10　“顿牟缀芥”是两千多年前我国古人对摩擦起电现象的观察记录，经摩擦后带电的琥珀能吸起小物体。现用下述模型分析探究，如图所示。

在某处固定一个电荷量为Q的点电荷，在其正下方h处有一个原子。在点电荷产生的电场（场强为E）作用下，原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的距离l，形成电偶极子。描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩p，p＝ql，这里q为原子核的电荷。实验显示，p＝αE，α为原子的极化系数，反映其极化的难易程度。被极化的原子与点电荷之间产生作用力为F。在一定条件下，原子会被点电荷“缀”上去。

（1）判断F是吸引力还是排斥力？简要说明理由。

（2）若固定点电荷的电荷量增加一倍，力F如何变化？

（3）若原子与点电荷间的距离减小一半，力F如何变化？

（2013清华大学）

解　（1）F为吸引力。理由：当原子极化时，与Q异性的电荷在库仑力作用下移向Q，而与Q同性的电荷在库仑力作用下被排斥而远离Q。这样异性电荷之间的吸引力大于同性电荷的排斥力，总的效果表现为F是吸引力。

（2），可知作用力F增大到原来的4倍。

（3），可知作用力F增大到原来的32倍。

说明：设电荷Q带正电（见图）。电荷Q与分离开距离l的一对异性电荷间的总作用力为

这里而p＝ql为原子极化形成的电偶极矩，式中负号表示吸引力。

实验显示，p＝aE，而电荷Q在离它h处的原子所在地产生的电场大小为

于是，电荷Q与极化原子之间的作用力为

它正比于固定电荷的平方，反比于距离的五次方，因此不管电荷Q的符号，均产生吸引力。电荷增加一倍，力变为4倍；距离缩短一半，则力变为32倍。

例11　设无重力空间有匀强电场现有两质量为m的小球A和B，小球A带电量q＞0，小球B不带电。当t＝0时，两球静止，且相距l方向与→E方向相同。t＝0时刻，A开始受电场力而向B运动。A与B相遇时发生第一次间弹性正碰，A、B无电荷量转移，求第8次正碰到第9次正碰之间需要的时间。（忽略A、B之间的万有引力）

（2011清华大学）

例12　如果质量相同的小球A和B在沿一条直线的运动过程中发生弹性正碰撞，则A的碰后速度等于B的碰前速度，B的碰后速度等于A的碰前速度。如图甲所示，光滑水平绝缘大桌面取为χOy坐标面，空间有竖直向下（图中朝里）的匀强磁场→B。

（1）χOy平面上的小球A，质量为m，电荷量q＞0，初速度方向如图所示，大小为ν0，而后小球A将做匀速圆周运动，试求圆半径R和运动周期T。

（2）图中小球A1、A2质量同为m，电荷量也同为q，开始时分别位于y轴上的y1、y2（y2＞y1）位置，初速度方向如图所示，大小也同为ν0。设A1、A2间可能发生的碰撞都是弹性正碰而且不会相互转移电荷（下同）。要求A1能到达y2处，试求y2﹣y1的所有可能取值。

（3）图中小球B的质量也为m，电荷量也为q，t＝0时位于χ轴上距O稍远的χ1位置，初速度方向沿χ轴正方向，大小也为ν0。现给你一个质量为m，电荷量为﹣q，初速度大小为ν0的小球B＊。在t＝0时B＊的初始位置和初始速度方向由你选定，但要求在T时刻（K∈N），B球可达到χ轴上与χ1相距尽可能远的χ2（χ2＞χ1）位置，最后给出你所得的χ2﹣χ1的值。（解题时略去球之间的电作用力）

（2011清华大学）

解　（1）带电小球会在水平面内作匀速圆周运动，由

（2）满足题意的一种情况对应两球未发生碰撞，但各自转过半圆后分别到达另一点，此时y2﹣y1＝2R；另一种情况对应两球各自转半圆周后发生弹性正碰，速度交换后又各自转过半圆周到达另一点，如图乙所示，此时y2﹣y1＝4R。

（3）将B＊放在χ＝χ1，y＝2R位置后，并且同时在t＝0时刻释放B和B＊，这样两球各自转过圈后正碰，以后每转过圈后就会正碰，经T时，B球又回到χ轴上，如图丙所示。故χ2﹣χ1＝2（2k＋1）·R。

例13　在坐标轴上有两个点电荷q1和q2（q1在q2的左边）。χ轴上每一点处电势随着χ而变化的关系如图所示。当χ＝χ0时，电势为0；当χ＝χ1时，电势有最小值。（点电荷产生的电势为

（1）求两个电荷q1和q2的位置；

（2）求两个电荷的比值

（2014清华大学）

解　（1）由于在χ＝0处，电势趋于正无穷，可知在原点有一个正电荷，即q1或q2在χ＝0处。假设q1在原点，则q2在χ轴的正半轴，此时在χ轴的正半轴一定有某处（即q2所处位置）电势为无穷大（或无穷小），与图象矛盾，则只能是q2在原点，q1在χ轴的负半轴。

又由于总电势可以为负，则可知q2＜0，设q1位置（χ2，0），χ2＜0。

例14　如图甲所示为一直线运动加速度测量仪的原理示意图。A为U形底座，其内部放置一绝缘滑块B；B的两侧各有一弹簧，它们分别固连在A的两个内侧壁上；滑块B还与一阻值均匀的碳膜电阻CD的滑动头相连（B与A之间的摩擦及滑动头与碳膜间的摩擦均忽略不计），如图甲所示。电阻CD及其滑动头与另外的电路相连（图中未画出）。

工作时将底座A固定在被测物体上，使弹簧及碳膜电阻CD均与物体的运动方向平行。当被测物体加速运动时，物块B将在弹簧的作用下，以同样的加速度运动。通过电路中仪表的读数，可以得知加速度的大小。

已知滑块B的质量为0.60 kg，两弹簧的劲度系数均为2.0×102N/m，碳膜CD的全长为9.0 cm，被测物体可能达到的最大加速度为20 m/s2（此时弹簧仍为弹性形变）；另有一电动势为9.0 V、内阻可忽略不计的直流电源，一理想指针式直流电压表及开关、导线。

设计一电路，用电路中电压表的示值反映加速度的大小。要求：

①当加速度为零时，电压表指针在表盘中央，且此时两弹簧均处于自然状态；

②当物体向左以可能达到的最大加速度加速运动时，电压表示数为满量程。（所给电压表可以满足要求）

（1）完成电路原理图乙。

（2）完成下列填空：（不要求有效数字）

①所给的电压表量程为________V；

②当加速度为零时，应将滑动头调在距电阻的C端________c m处；

③当物体向左做减速运动，加速度的大小为10 m/s2时，电压表示数为________V。

答　（1）电路原理图如图丙所示。

(2)①6.0　②3.0　③1.5