函数方程的解的求解方法：代换法、比较系数、迭代、极限思想

1.方程的根与函数的零点

（1）对于函数y＝f（χ），我们把使f（χ）＝0的实数叫作函数y＝f（χ）的零点。

（2）方程f（χ）＝0有实数根⇔函数y＝f（χ）的图象与χ轴有交点⇔函数y＝f（χ）有零点。

（3）零点存在性定理：如果y＝f（χ）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，并且f（a）·f（b）＜0，那么函数y＝f（χ）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使f（c）＝0，这个c就是方程f（χ）＝0的根。

2.函数方程

我们把含有未知函数的等式叫作函数方程。能使函数方程成立的函数叫作函数方程的解。求解函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程。通常而言，解函数方程常用的方法有以下几种：

（1）代换法（也称换元法）。

把函数方程中的自变量适当地以其他的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个容易求解的新函数方程，然后求解这个新函数方程，从而得到原函数方程的解。

（2）待定系数法。

当函数方程中的未知数是多项式时，可用此方法经过比较系数得到。

（3）迭代法。(www.xing528.com)

由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解。

（4）柯西法。

本种方法主要是利用极限思想进行求解函数方程，见本节的第三部分。

（5）不动点法。

3.三次方程的韦达定理

设三次方程aχ3＋bχ2＋cχ＋d＝0的三个根为χ1，χ2，χ3，则

4.导数与极限思想

(1)

(2)

（3）f（χ）在χ＝χ0处连续的充要条件是其几何意义是f（χ）的图象在χ＝χ0处是不间断的，即是连续的。