分析与计算电磁场的工作有两部分：选定位函数，建立求解区域的微分方程；确定边界和边值条件，以给出方程的定解条件，最后得出待求问题的数学模型。前者在上节中已作叙述，以下讨论边界条件和边值问题。
1.位函数微分方程的定解条件
待求位函数u（标量磁位φm、矢量磁位A）的偏微分方程定解问题有三种类型：仅含初始条件的定解问题为初值问题或柯西问题，无初始条件、只有边界条件的定解问题为边值问题，既有初始条件又有边界条件的定解问题为初边值问题或混合问题。初始条件与边界条件的一般数学描述如下：
（1）初始条件 给出初始瞬间u在场域各处的值和对时间的变化率，计算公式如下
（2）边界条件 给出场函数在边界上满足的相关条件，有三种类型：
1）Dirichet问题。给出u在场域边界S上的定值，计算公式如下
前者称为第一类边界条件，后者称为第一类齐次边界条件。
2）Neumann问题。给出u在场域边界S上的法向导数值，计算公式如下
同样，前者称为第二类边界条件，后者称为第二类齐次边界条件。
3）Robin问题。给出u在场域边界S上与其法向导数线性组合的定值，计算公式如下
称为第三类边界条件。
2.边界条件的具体形式
（1）不同媒质分解面的边界条件 涡流制动型缓速器结构中包含具有不同磁导率的铁区、空气区、线包区等介质。Maxwell基本方程的微分形式只适用于磁媒质内部，即场矢量连续变化的区域。在不同磁媒质分界面上，由于存在磁化面电流，场矢量在分界面两侧将发生突变。可由基本方程的积分形式导出磁场和电场在分界面上的边界条件如下：
场量形式表达如下
位函数形式表达如下(www.xing528.com)
式中，JS为面自由电流密度（或称电流线密度），其方向与沿H2t绕行的方向符合右手螺旋法则；n、t为分界面的单位法向量和单位切向量。
上式表明，在分界面两侧，磁通密度的法向分量保持连续，而磁场强度的切向分量产生突变（矢量场的面散度源可能引起场的法向分量突变，面旋度源可能引起场的切向分量突变。如无磁偶极矩存在，则无散场的法向分量一定连续，无旋场的切向分量一定连续。对调和场，则两种突变均不存在）。
对于各向同性的磁场媒质来说，如分界面上不存在自由面电流，则处在分解面两侧的B矢量和H矢量服从折射定律，即
式中，α1、α2分别是在两种媒质在分界面处的法线与B、H矢量之间的夹角。
显然，由于在铁磁性材料与非铁磁性材料的分界面上有μ1＞＞μ2，这时只要α1≠90°，而α2≈0°，即可近似认为在非铁磁性材料的一侧靠近分界面处，B、H矢量垂直于分界面。
（2）无穷远处的边界条件 当场域无界时，定解条件还包括无穷远处的边界条件。场源分布在有限区域内的无界场问题，场函数在无穷远处取值为零：
。
3.边值问题
上述位函数的泛定方程和边界条件一起，构成了边值问题，是待求物理问题的数学模型。在平面线性稳定电磁场中，标量磁位、矢量磁位的边值问题分别为
1）标量磁位
2）矢量磁位
统一写成
统一形式的泊松方程的边值问题与物理量的对应关系列于表2-1中。
表2-1 统一形式的泊松方程的边值问题与物理量的对应关系
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