磁位与偏微分方程：先进汽车缓速器理论与试验

Maxwell方程组是场矢量之间的关系表达式，是电磁场分析的基础，但如果直接用来求解电磁场问题，在数学上存在较大困难。因此在分析电磁场问题时，常常引入一定的位函数（或称为势函数、磁位，包括标量势和矢量势）作为求解的辅助量。

1.标量磁位的偏微分方程

在稳定磁场的无电流区域内，可以应用标量磁位进行磁性材料和磁路问题的讨论和分析。根据无电流区域磁场强度矢量的旋度为零，可以引入标量磁位作为待求量，计算公式如下

式中，φ_m为标量磁位，在国际制中单位是安培（A）。

令H=H_xi+H_yj+H_zk，则显然有

在∇·B=0中，代入B=μH，并考虑到H=-∇φ_m，则有

∇·（-μ ∇φ_m）=-∇φ_m·∇μ-μ ∇·∇φ_m=0 （2-16）

假设媒质均匀，则∇μ=0，因此上式成为

∇·（-μ ∇φ_m）=-μ ∇·∇φ_m=-μ ∇²φ_m=0 （2-17）

即

∇²φ_m=0 （2-18）

或写成

∇φ_m=0 （2-19）

上式表明，标量磁位满足Laplace方程。

在直角坐标系中，上式成为

当磁场可作为XY平面内的2D场时，由于H_z=0，，上述结论简化为

2.矢量磁位的偏微分方程(www.xing528.com)

在稳定磁场的有电流区域内，磁场强度矢量的旋度不为零，因此不能用标量磁位进行求解。由于磁通密度矢量的散度为零（∇·B=0），而任一矢量函数的旋度的散度恒为零（∇·∇×A=0），因此可以引入矢量磁位来描述场域中有电流存在时的稳定磁场问题，计算公式如下

B=∇×A（2-23）

式中，A为矢量位函数，称为矢量磁位，在国际制中单位是韦伯/米（Wb/m）。矢量磁位既能应用于无电流区域，也能应用于有电流区域，显然对它求导可得出磁通密度。

令A=A_xi+A_yj+A_zk，B=B_xi+B_yj+B_zk，由旋度运算规则

可得矢量磁位表达的磁通密度的具体形式为

对稳态场由安培环路定律的微分形式（∇×H=J）和各向同性线性媒质构造方程（H=B/μ），有∇×B=μJ。将矢量势代入，得双旋度方程

∇×∇×A=μJ （2-26）

应用矢量恒等式：∇×∇×A=∇（∇·A）-∇²A，则有

∇（∇·A）-∇²A=μJ （2-27）

对A的散度施加约束：∇·A=0（库仑规范），上式成为

∇²A=-μJ （2-28）

或写成

∇A=-μJ （2-29）

上式表明，矢量磁位满足Possion方程。

在直角坐标系中，上述矢量形式的Possion方程的形式为

同样，如果磁场可作为2D场，则由于B_z=0，，此时上述结论简化为