钢结构设计原理：单向压弯构件的平面内整体稳定

1．压弯构件平面内稳定的极限承载能力

压弯构件平面内稳定的极限承载力一般由以下方式确定：第一，根据大量试验数据，用统计的办法确定；第二，根据力学模型，采用数值分析方法确定，并用必要的试验数据予以验证。 前一种方法客观、直接，其结果可以包含材料、制作、加载约束等各方面的复杂情况，但是成本较大，难以准确区分不同因素的影响，事实上也不可能对工程构件在各种条件下的极限承载力都通过试验来确定。另一方面，由于构件进入弹塑性之后，截面刚度沿轴线发生了变化，除少数情况外，难以得到弹性范围内那种简洁明了的解析解，所以，往往通过采用半解析半数值方法或数值方法去求取极限承载力。数值分析的方法可以弥补前述试验方法的不足，但数值方法必须经过必要的试验验证。

图 6.12 为考虑相应初始缺陷（1/1 000 杆长的初始挠曲和图示残余应力模式），当荷载相对偏心率ε0y=1时，不同长细比偏压构件采用数值方法计算的轴力-变形曲线。

以图 6.12 所示各曲线的顶点为纵坐标，构件的长细比为横坐标，可以得图 6.13 中相对偏心率ε0y=1的曲线。同样可得到ε0y为其他值的曲线。若已知构件长细比、相对偏心，即可以从图 6.13 查出压弯构件的平面内稳定承载系数，从而求出压弯构件的平面内稳定承载力Nux。

图6.12　不同长细比下压弯构件的轴力-变形曲线

图6.13　压弯构件的柱子曲线

把具有一定长细比，不同偏心率的构件达到极限状态时的轴压承载力与最大截面弯矩作成曲线，可得构件轴力与弯矩承载力相关曲线，见图 6.14 示例。曲线与纵轴的交点（M /Mp=0）代表了轴向受压构件的稳定承载力，曲线与横轴的交点（N /Np=0）为受弯构件的截面强度。0λ=的曲线，实质上是截面强度的相关曲线；当λ逐渐增大后，构件将由整体失稳控制其承载能力，曲线将相对于原点向外凸转变为内凹。求出不同长细比压弯构件轴力与弯矩的相互关系，便可确定压弯构件的极限承载能力。

图6.14　压弯构件的轴力与弯矩承载力相关曲线

2．压弯构件平面内稳定计算的常用方法

从上面的分析知，压弯构件在弯矩作用平面内稳定承载力的计算有两种方式。一是采用单项表达式，因轴力达到弯矩作用平面内极限荷载Nux是压弯构件稳定承载能力的极限状态，由此平面内稳定的计算条件为：

即

采用公式（6.13）验算压弯构件的平面内稳定性，概念很明确，问题的关键是极限荷载Nux的求解，也就是要获得图 6.5（b）中曲线 ACD 的方程而后求解曲线的极值。工程中的压弯构件，通常在达到构件极限承载力时，已进入塑性状态，则曲线 ACD 的方程或极限荷载Nux的求解涉及双重非线性问题，即 N 与 v 间呈几何非线性关系，钢材进入弹塑性状态后应力与应变呈物理非线性关系，无精确的解析解。在计算机还未问世以前，常需建立各种近似的假定而后方能得到Nux，如著名的耶若克（Jezek）方法就是当时的代表。在计算机普及后，采用数值积分法可以较方便地得到曲线ACD和Nux的数值解。

从形式上φbc是相对偏心ε的函数。但由于构件上弯矩分布的不同情况、构件截面形式、截面尺寸、初始几何缺陷、端部约束条件等的差别都对φbc有不同程度的影响，因此较难给出可以适用于各种不同截面和不同残余应力模式又较便于设计人员应用的φbc表格或曲线，用一个φbc来单项表达公式（6.13）将十分复杂，使用极为不便。目前国外采用单项系数φbc来验算压弯构件平面内稳定的设计规范已为数不多。

针对压弯构件平面内稳定承载力计算，目前各国设计规范中应用较多的方法是采用轴力和弯矩相关公式（也称为两项公式），确定两项公式的一种方式是采用边缘纤维屈服准则，建立轴力和弯矩相关公式。该公式为理论解，其实质是以强度计算代替稳定计算。确定两项公式的另一种方式是基于理论解，建立一个实用的半经验半理论公式，方便应用。但公式中的参数在制定规范时需利用上述极限荷载所得结果进行验证而后确定。

我国《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）中，对实腹式压弯构件的平面内稳定计算采用实用的相关公式，而对格构式压弯构件绕虚轴弯曲时的稳定验算以及《冷弯薄壁型钢结构技术规范》（GB 50018—2002）对冷弯薄壁型钢压弯构件，则采用边缘纤维屈服准则。下面详细说明这两种方式确定的轴力和弯矩相关公式。

3．压弯构件的边缘屈服准则

图 6.15（a）为两端偏心距相同的偏压构件，图 6.15（c）为受端弯矩的压弯构件，若M0和 N 按等比例增加，即ey为常数，则两图所示的构件等价。构件任一截面上的内弯矩为N (ey+v)，其中 v 是构件在弯曲平面内的挠度。由平衡方程

图6.15　偏心受压构件和压弯构件

令

可得

式中　M0x——不考虑二阶效应时的截面弯矩，此处M0x=Ney，最大弯矩在跨中

跨中挠度

由于小于1。可见跨中弯矩值比一阶弯矩M0x要大。

按弯矩最大截面的边缘纤维达到屈服的准则，有：

或

记ε0y=为截面平均应力，可得：

上式中是考虑构件挠曲的二阶效应的因子，其值总是大于1（当压力为零时才为1）。因此考虑二阶效应后构件达到截面边缘屈服时可以承受的平均应力低于只考虑一阶效应时的情况。

对具有初始挠度的轴心受压构件，亦可得出最大弯矩在跨中为：

上式中Nv0m是只考虑轴力与初始挠度因素的弯矩。对比式（6.15）、（6.18）可以看出因子相当于对一阶弯矩的放大系数。由于，所以这两个放大系数都与轴压力的大小有关（图6.16）。当N愈接近于NEx，一阶弯矩被放大得愈多。在许多情况下，可以近似地用放大因子来考虑与构件挠曲有关的二阶效应的影响。

图6.16　放大因子

简支梁仅在端弯矩M0x=Ney作用下跨中最大挠度为：

若令=k ，则

式中　αv——挠度放大系数。

若把seck展开成级数：

则

即考虑轴心压力影响后的挠度放大系数为：

式（6.19）虽然是由偏心压杆导出，但也适于其他两端简支的压弯构件。研究证明当＜0.6时，公式（6.19）的误差小于 2%。

求出最大挠度vm后，压弯构件中的最大弯矩可写成下列普遍式：(www.xing528.com)

式中：M0x是把构件看作简支梁时由荷载产生的跨中最大弯矩，称为一阶弯矩；Nvm为轴心压力引起的附加弯矩，称为二阶弯矩；

称为弯矩放大系数，也就是通常所谓“-P δ”效应。

简支梁的最大弯矩M0x和最大挠度v0都随荷载而异，因此ψ和βmx也都将随之而异。表6.1 给出常用荷载情况下的ψ和βmx值。由于实际工程的压弯构件的N /NEx常很小，我国《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）中对表列项次1承受纯弯曲的压弯构件近似取βmx=1.0，并以此为依据确定其他压弯构件的βmx，因此βmx称为等效弯矩系数，亦即其他压弯构件等效于承受纯弯曲的压弯构件时βmx应取之值。

表6.1　简支压弯构件的 ψ 和 βmx值

对图6.15图（a）所示有初始挠曲的偏压构件，如采用边缘屈服准则，可以建立如下关系：

式中　N——构件上作用的轴向压力；

Mx+Nδ0——构件截面上由横向力或初弯矩引起的一阶弯矩以及考虑初始挠曲δ0产生的弯矩；

——考虑二阶弯矩的放大因子；

Np——截面上屈服轴力；

Mex——由最大受压纤维确定的截面屈服弯矩，Mex=Wx1fy；

Wx1——最大受压纤维的毛截面截面模量。

令式（l）中Mx=0，则满足式（l）关系的轴力 N 为有初始缺陷的轴心压杆的临界力N0x，在此情况下，由式（l）解出：

将式（m）代入式（l），注意到N0x=φxAfy，并引入弯矩非均匀分布时的等效弯矩系数βmx，可得：

对于绕虚轴弯曲的格构式压弯构件以及由宽厚比相当大的板件组成的截面，例如冷弯薄壁型钢构件，截面发展塑性的可能性较小，一般以边缘屈服准则作为构件稳定承载力的设计准则，可以用上式作为设计公式的依据。

对于绕虚轴弯曲的格构式压弯构件，工程设计时，考虑抗力分项系数γR，将式（6.21）中的fy用fd代替，则式（6.21）成为：

式中，相当于按强度设计值将NEx予以折减。上式当φx＞0.8时可能高估构件的承载力，因此《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）采用（6.22b）进行设计：

4．《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）中关于实腹式单向压弯构件平面内稳定 承载力计算的规定

对于实腹式压弯构件和绕实轴弯曲的格构式压弯构件，则可以利用截面的塑性发展。经与试验数据的比较，引入若干修正后，可采用下式作为设计公式的依据：

对于不对称工字形截面、T形截面压弯构件，当弯矩使较大翼缘受压时，考虑到截面的小翼缘端有可能拉应力过大而先于受压侧屈服，故对较小翼缘侧，还应补充如下计算：

式中　γx，Wx2——弯矩作用平面内受压较小翼缘的截面塑性发展系数和毛截面截面模量。 式中第二项分母中的1.25也是一个经验修正系数。

在工程设计中，式（6.23）、式（6.24）中的屈服点fy应用强度设计值fd代替，则以上各式成为：

采用稳定极限承载力准则时，对于实腹式压弯构件和绕实轴弯曲的格构式压弯构件：

对于不对称的工字形截面、T形截面且弯矩使较大的翼缘受压时，还应计算：

其中相当于按强度设计值将NEx予以折减。

比较规范公式（6.22a）和公式（6.25），差别有两处：一是以γxWx1代替原先的Wx1，这是因为公式（6.22a）只是限于弹性工作阶段，而公式（6.25）容许在截面上局部发展塑性；二是公式第二项分母中用常系数0.8代替原先的参变量φx，0.8是一个经验的修正系数，无理论推导，由极限荷载的数值计算结果与公式（6.25）的计算结果回归对比确定而得。公式（6.25）来自公式（6.22a），但引进了经验系数，因而是一个半理论半经验的公式。当Mx=0时，公式成为轴心受压构件绕x轴弯曲屈曲的稳定验算公式；当N=0时，因弯矩不会因N而增大，应取βmx=1.0，公式即为梁的抗弯强度公式。公式（6.25）也就成为平面内稳定验算中的轴力N和弯矩M的相关公式。

在公式（6.25）中，引入等效弯矩系数的原因，是将非均匀分布的弯矩当量化为均匀分布的弯矩。《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）沿用了前《钢结构设计规范》（GB 50017—2003）关于实腹式单向压弯构件弯矩作用平面内稳定的计算公式，但对等效弯矩系数βmx的取值做了较大调整，以提高精度。设计标准中βmx按下列两类分别分3种情况取值。

1）两端支承构件和无侧移的框架柱等

（1）无横向荷载作用时： M1和 M2是构件两端的弯矩，，当两端弯矩使构件产生同向曲率时取同号，反之取异号。

（2）无端弯矩但有横向荷载作用时：

① 跨中单个集中荷载

② 全跨均布荷载

（3）端弯矩和横向荷载同时作用时，式（6.25）中的mxxMβ替换为：

式中：m,xβ为按无横向荷载作用时确定的等效弯矩系数，按式（6.27a）计算；mqxβ为按无端弯矩而只有横向荷载作用时确定的等效弯矩系数，当横向荷载为跨中单个集中荷载时按式（6.27b）计算，当横向荷载为全跨均布荷载时按式（6.27c）计算；M1和Mqx分别为端弯矩较大值和横向荷载产生的弯矩最大值。

2）有侧移框架柱或悬臂构件

（1）有横向荷载的柱脚铰接的单层框架柱和多层框架的底层柱：

（2）自由端作用有弯矩的悬臂柱：

式中，m 为自由端弯矩与固定端弯矩之比值，当弯矩图无反弯点时取正值，有反弯点时取负值。

（3）除以上规定外的框架柱：