土木工程制图：利用辅助球面法实现进展

当球心位于回转体的轴线上时，球面和回转体表面的交线是垂直于回转轴的圆。若此时回转体的轴线又平行于某一投影面，则该圆在投影面上的投影积聚为一条垂直于回转轴的直线段。

图7.57（a）所示球心位于直立圆柱的轴线上，它们的表面交线是两个等径的水平圆K1和K2。

图7.57（b）所示球心位于正圆锥的轴线上，它们的表面交线为大、小二水平圆K1 和K2。

图7.57（c）所示球心位于斜圆柱的轴线上，斜圆柱的轴线平行于V 面，此时它们的表面交线为两个等径的圆K1 和K2。二圆都垂直于V 面，其V 投影为垂直于圆柱轴线的两直线段，H投影为两个相同的椭圆k1 和k2。

图7.57　球心属于回转体的轴线时，球与回转体的相贯线

由上述现象可知，求两回转体的表面交线时，两回转体的轴线相交，且两轴线同时平行于某一投影面，则可用以两轴线交点为球心的球面为辅助面，来求两回转体表面的共有点。

【例7.23】求圆锥与圆柱的交线，如图7.58 所示。

图7.58　以球面为辅助面求圆锥与圆柱的相贯线

【解】分析：①由于H 投影前后对称，故相交线也前后对称。再由两投影观察知，圆柱虽全贯入圆锥，但未贯出，故只求一组相交线。(www.xing528.com)

②两立体都是回转体，且轴线都平行于V 面并相交于一点，若以两轴线交点O 为球心的球面为辅助面，则球与两回转体表面的交线都是圆。这些圆的V 投影都是垂直于各自轴线的直线段，它们的交点就是相交线上的点的V 投影。

作图：如图7.58 所示。

①求相交线上的最高点Ⅰ和最低点Ⅱ是圆柱的最高和最低素线与圆锥最左素线的交点。可先在V 投影上直接定出点1′和2′，然后由1′和2′而得1 和2。

②求相交线上的一般点。以两回转体轴线的交点O 为球心，适当的长度R 为半径作辅助球。此球与圆锥相交于水平圆K1 和K2，与圆柱相交于圆K3。它们的V 投影都积聚为直线段和。和k3′的交点5′、6′和7′、8′，便是属于相交线的点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的V 投影。它们的H 投影利用水平圆K1 和K2 的H 投影k1 和k2 来求出。

辅助球的半径R 应在最大半径Rmax和最小半径Rmin之间。从V 投影可知Rmax =0′1′，因为半径大于0′1′的球面与圆锥和圆柱的截交圆不能相交。最小半径Rmin为与圆锥相切的球和与圆柱相切的球二者中半径较大者，在此应为与圆锥相切的球半径。如球半径比切于圆锥的球半径还小，则此球与圆锥无截交线。

图中的点Ⅲ（3，3′）和Ⅳ（4，4′）就是以与圆锥相切的球为辅助面而求得的。

在最大球和最小球之间还可作更多的球面为辅助面，以求得属于相交线足够数量的点。

③连点成相交线。先连接V 投影1′—5′—3′—7′—2′为曲线，此曲线与圆柱最前和最后的素线交于1′和m′（m′和1′重合），便是相交线的最前点L 和最后点M 的V 投影；它们的H 投影1和m 由1′和m′求出。

圆柱的最前素线和圆锥面的交点G（g、g′）还可用过此素线和锥顶的平面P 与锥面交于素线的方法来作，图中未示出。

相交线的H 投影为曲线2—7—g—3—5—1—6—4—m—8—2，连此曲线时注意它对水平中心线的对称性。

④判别可见性。在V 投影上，相交线的不可见部分2′—8′—m′—4′—6′—1′和可见部分2′—7′—g′—3′—5′—1′重合。在H 投影上，g—3—5—1—6—4—m 属于圆锥与圆柱的可见表面，画为实线。m—8—2—7—g 属于柱的后半表面，为不可见，画成虚线。