圆锥体形成与投影-土木工程制图

1）形成

由直角三角形（SAO）绕其一直角边（SO）为轴旋转运动的轨迹称为圆锥体，如图7.27（a）所示。另一直角边（AO）旋转运动的轨迹是垂直于轴的底圆；斜边（SA）旋转运动的轨迹是圆锥面。SA 称为母线，母线在圆锥面上任一位置称为素线。圆锥面是无数多条素线的集合。圆锥由圆锥面和底圆围成。锥顶（S）与底圆之间的距离称为圆锥的高。

2）投影

（1）安放位置

如图7.27（b）所示，将圆锥体的轴线垂直于H 面，则底圆平行于H 面。

（2）投影分析

H 面投影：为一个圆。它是可见的圆锥面和不可见的底圆投影的重合。

V 面投影：为一等腰三角形。它是可见的前半圆锥和不可见的后半圆锥投影的重合，其对应的H 面投影是前、后半圆；对应的W 面投影是右、左半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底面的积聚性投影；两腰（s′a′和s′b′）是圆锥最左、最右素线（SA 和SB）的投影，也是前、后半圆锥的分界线。

W 面投影：为一等腰三角形。它是可见的左半圆锥和不可见的右半圆锥投影的重合，其对应的H 面投影是左、右半圆；对应的V 面投影是左、右半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底圆的积聚性投影；两腰（s″c″和s″d″）是圆锥最前、最后素线（SC 和SD）的投影，也是左、右半圆锥的分界线。

（3）作图步骤[图7.27（c）]

①画轴线的三面投影（o、o′、o″）过o 作中心线，轴和中心线都画点画线。

②在H 面上画底圆的实形投影（以O 为圆心，OA 为半径）；在V、W 面上画底圆的积聚投影。

③画锥顶（S）的三面投影（s、s′、s″，由圆锥的高定s′、s″）。(www.xing528.com)

④画出转向轮廓线，即画出最左、最右素线的V 面投影（s′a′和s′b′）；画出最前、最后素线的W 面投影（s″c″和s″d″）。

图7.27　圆锥体的形成与投影

3）圆锥体表面取点

【例7.4】已知圆锥上一点M 的V 面投影m′，求m 及m″，如图7.28（a）所示。

图7.28　圆锥体表面上取点

【解】分析：由于m′可见，且在轴o′左侧，可知M 点在圆锥面的前、左部分。由于圆锥面的3个投影都无积聚性，所缺投影不能直接求出，可利用素线法和纬圆法求解。利用素线法，即过锥顶S 和已知点M 在圆锥面上作一素线SⅠ，交底圆于Ⅰ点，求得SⅠ的三面投影，则M 点的H、W面投影必然在SⅠ的H、W 面投影上。利用纬圆法，即过M 点作垂直于圆锥轴线的水平圆（其圆心在轴上），该圆与圆锥的最左、最右素线（SA 和SB）相交于Ⅱ、Ⅲ点，以ⅡⅢ为直径在圆锥面上画圆，则M 点的H、W 面投影必然在该圆H、W 面投影上，如图7.28（b）所示。

作图：如图7.28（c）所示。

①素线法：连接s′m′并延长交底圆的积聚性投影于1′；由1′向下作投影连线交H 面投影中圆周于1，连接s1；由m′向下作垂线交s1 于m，由Y1 和利用“高平齐”关系求得m″。

②纬圆法：过m′作平行于OX 轴方向的直线，交三角形两腰于2′、3′，线段2′3′就是所作纬圆的V 面积聚性投影，也是纬圆的直径；再以2′3′为直径在H 面投影上画纬圆的实形投影；由m′向下作垂线，与纬圆前半部分相交于m，由m′、m 可得m″。

③判别可见性：由于M 点位于圆锥面前、左部分，故m、m″均可见。