特殊位置平面与平面立体的相交现象

当截平面处于特殊位置时，截平面具有积聚性的投影必与截交线在该投影面上的投影重合，即：截交线有一个投影为已知。此时，可根据这个已知的投影，利用前面所述表面取点的方法，求出截交线的其余投影。

【例6.3】如图6.8（a）所示，求正垂面与三棱锥的截交线。

【解】分析：截平面为正垂面，故它与三棱锥的交线的正投影为已知；又因截平面与三棱锥三条棱线均相交，所以截平面与三条棱线SA、SB、SC 的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正投影1′、2′、3′也已知；只需求出截交线的水平投影及侧投影，即可完成题目要求。

作图：由交点法求截交线，如图6.8（b）所示。

①由已知截平面与三条棱线SA、SB、SC 的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正投影1′、2′、3′，根据直线上点的从属性，求出其余两投影1、2、3 及1″、2″、3″。

②依次连接同名投影，得截交线的水平投影和侧投影。

③根据截交线所在表面的可见性确定其可见性。

【例6.4】如图6.9（a）所示，求正三棱锥被水平面PV 和正垂面QV 截切后的三面投影。

【解】分析：水平面PV 截切三棱锥，将得一个与底面相似的正△ⅠⅡⅢ，它的V 投影积聚为一段水平线1′2′3′；正垂面QV 截切正三棱产生的截交线，求解方法同【例6.3】。两平面均未切断正三棱锥，它们的交线是一条正垂线ⅥⅦ。立体图如图6.9（c）所示。

图6.8　正垂面与三棱锥的截交线

作图：如图6.9（b）所示。

①首先求出正三棱锥未被截切前的侧面投影。

②水平面PV 截切正三棱锥的正投影1′、2′、3′为已知，由此可求出其水平投影1、2、3 及侧投影1″、2″、3″。

③正垂面QV 截切正三棱锥的正投影4′、5′、6′、7′已知，其中积聚点6′、7′是PV 面与QV 面交线的正投影，求出其水平投影和侧投影4、5、6、7 和4″、5″、6″、7″。

④如图6.9（c）所示，分两个截面按PV 截面上从Ⅰ→Ⅱ→Ⅵ→Ⅶ→Ⅰ，QV 截面上从Ⅳ→Ⅴ→Ⅵ→Ⅶ→Ⅳ的顺序，连接其水平投影和侧面投影。

⑤判定可见性：两个截切平面截切三棱锥得到一个向左上方的缺口，所以产生的截交线在投影中全部可见，仅截面P 与截面Q 的交线ⅥⅦ的水平投影不可见。(www.xing528.com)

图6.9　完成正三棱锥被截割后的三面投影

如图6.10 所示仍是一个正三棱锥被水平面P 和正平面Q 截切，但是，截切口与立体间相对位置与图6.9 所示的立体不同，所以两组截交线是完全不相同的。

图6.10　正三棱锥被截割后的三面投影

【例6.5】如图6.11（a）所示，求带缺口的三棱柱的投影。

图6.11　求带缺口的三棱柱投影

【解】分析：三棱柱分别被正垂面PV 水平面QV 及侧平面RV 截切；观察该三棱柱，其水平投影具有积聚性。所以，属于三棱柱表面截交线的水平投影一定重合在该积聚性投影上，也就是截交线的水平投影已知；三个截切平面的正投影均具有积聚性，所以它们与三棱柱产生的交线的正投影也已知。只需要求出截交线的侧投影，即可完成题目要求。

作图：如图6.11（b）所示。

①先求正垂面PV 与三棱柱产生截交线上的点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅷ。截平面PV 是正垂面，与棱柱的交点1′、2′已知，同时，它与侧平面RV 的交线3′、8′也已知。根据平面立体表面取点的方法，求出这些点的水平投影和侧投影。

②再求水平面QV 与三棱柱相交产生截交线上的点Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ。水平面QV 的正投影具有积聚性，它与棱柱的交点5′、6′已知，同时，它与侧平面RV 的交线4′、7′也已知。同理，可求出这些点的水平投影和侧投影。

③侧平面RV 与三棱柱相交产生截交线上的点Ⅲ、Ⅳ、Ⅶ、Ⅷ的正投影3′、4′、7′、8′已知，其水平投影和侧投影已经在前面的作图中完成。

④根据同在一个表面的两点才能相连的原则，按Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ→Ⅴ→Ⅵ→Ⅶ→Ⅷ→Ⅰ的顺序连接，其中交线Ⅲ→Ⅷ和Ⅳ→Ⅶ在水平投影中为不可见的虚线。

⑤从题目正投影中可知：三棱柱的左边棱线Ⅰ→Ⅵ、中间棱线Ⅱ→Ⅴ已经被切掉，只有右边棱线是完整的。在水平投影中，三棱柱投影的积聚性使缺口无法体现。在侧投影中，1″→6″、2″→5″之间无棱线，但右边棱线完整且后侧面的大部分都存在，故在该投影中只有2″→5″间无线段。

当条件变为三棱柱与四棱柱相交时，所求各点的位置完全不变，连线的顺序和形状也不变，但截交线变为相贯线，可见性必须严格判断。同时，原三棱柱的棱线也由于四棱柱的遮挡，产生局部的虚线，如图6.11（d）所示。