土木工程制图中的旋转法在定位和度量问题中的应用

【例5.11】如图5.23（a）所示，求直线AB 的实长和倾角α。

【解】分析：欲求水平倾角，旋转时应保持水平倾角不变，应选择垂直于H 面的旋转轴。令旋转轴过A 点，在旋转过程中A 点将不动，只需将B 点旋转。

作图：如图5.23（b）所示。

①在水平投影图中，以a 为圆心、ab 为半径作bb1 圆弧，使ab1∥x。

②在正投影图中，由点的旋转规律，B 点正投影应作平行于投影轴的直线移动，即由b′→，得。

③连即获得反映AB 直线实长的投影；与X 轴的夹角，即为所求倾角α。

图5.23（b）中旋转轴的位置很明显，在应用时旋转轴经常无须指明，而图5.23（c）则表示了一般位置直线AB 绕不指明位置的铅垂轴旋转成正平线的情况。由于保证了旋转时其水平投影长度不变，正面投影高差不变，故旋转后的正投影反映该直线实长和倾角。由此可见，当旋转轴性质不变时，仅改变其位置，对旋转后的结果是没有影响的。在解题中，为了使图面更加清晰，常采用不指明轴的旋转法。

图5.23　求直线的实长及倾角α

【例5.12】如图5.24 所示，求平面△ABC 的倾角α。

【解】分析：由于需要求出平面的水平倾角α，所以必须绕铅垂轴旋转；若要将一般位置面旋转成正垂面，则必须将属于△ABC 的一条水平线旋转为正垂线。

作图：使用绕不指明轴旋转法。

①在△ABC 中作水平线AD，由a′d′∥X ，a′d′→ad。

②将AD 绕铅垂轴旋转成正垂线的同时（即a1d1⊥X），用△abc≌△a1b1c1 求出△ABC 新的水平投影△a1b1c1。

③过分别作平行于X 轴的直线，并以，求出，此投影具有积聚性。

④积聚性投影与X 轴的夹角即为所求α。

用同样的思考方法，可求出平面的正面倾角β。如图5.25 所示，在△ABC 上作正平线BE，将正平线BE 绕正垂轴旋转成铅垂线，根据平面绕垂直轴旋转的投影规律，有△a′b′c′ ≌△，过a、b、c 分别作平行于X 的直线，由，得到△ABC 具有积聚性的投影a1b1c1，它与X 轴的夹角即为△ABC 的β。

图5.24　求△ABC 的倾角α

图5.25　求△ABC 的倾角β

【例5.13】如图5.26（a）所示，过点C 作直线CD 与AB 垂直相交，求CD。(www.xing528.com)

【解】分析：当直线AB 垂直于某一投影面时，由于AB⊥CD，直线CD 一定平行于该投影面，且反映实长，同时，在该投影面上的投影反映出AB⊥CD 的直角。因此，需将直线AB 旋转成垂直线。而一次旋转只能将一般位置直线旋转成平行线（如【例5.11】），所以还需将平行线再次旋转成垂直线，故本例应进行二次旋转。

作图：使用不指明旋转法，如图5.26（b）所示。

①第一次旋转，使AB 直线成为正平线A1B1，C 点按“三同”原则随着直线AB 一起旋转至C1。即a1b1∥X ，a1b1 =ab ；c1 与a1b1 的相对位置与旋转前c 与ab 的相对位置保持不变，以点、直线绕垂直轴旋转的规律，作出。

②第二次旋转，使A1B1 直线变换成铅垂线A2B2，C1 点按“三同”原则随A1B1 一起旋转。即与的相对位置与旋转前与的相对位置保持不变，⊥X。同样，以点、直线绕垂直轴旋转的规律，作出a2、b2 及c2。

③过点C 作直线CD 垂直于AB。由于此时a2b2 已积聚，它与c2 的连线c2d2 就是反映垂线CD 实长的投影，其正投影平行于X 轴（）。

④按旋转前后旋转轴所垂直投影面中的投影，其相对位置不变的规律，同时，由于D 点是属于AB 直线上的，逐次返回，求出D 点的各个投影d1、，d、d′，与C 点同名投影的连线就是距离的各个投影。

【例5.14】如图5.27（a）所示，求一般位置平面△ABC 的实形。

图5.26　求C 点到直线AB 的距离

【解】分析：为求△ABC 实形，需将△ABC 旋转成平行平面。在两面体系中，平行面的倾角一个为90°，一个为0°。从【例5.12】中可获得启示：先用一次旋转将△ABC 旋转成垂直面，产生一个具有90°倾角的积聚性投影；保持这个90°倾角不变（在投影图中体现为积聚性投影不变），再进行一次旋转，产生另一个倾角为0°的投影，该投影就反映△ABC 的实形。

作图：如图5.27（b）所示，综合运用不指明垂直轴和指明旋转法。

①第一次旋转，绕过不指明的正垂轴，将△ABC 旋转成铅垂面。作图方法同【例5.12】，产生具有积聚性的正面投影a1b1c1及。

②第二次旋转。绕过C 点的铅垂轴旋转，将积聚性投影a1b1c1旋转至平行于X 轴的位置，即a2b2c2∥X。由平面绕垂直轴旋转的规律，作出，即为△ABC 实形。

图5.27　求一般位置平面△ABC 的实形

【例5.15】如图5.28（a）所示，求直线AE 与平面△ABC 的夹角θ。

【解】分析：通过对平面△ABC 的两次旋转，使它变换成平行面。此时，直线AD（其中A 点是直线与平面的共有点）也随着平面进行旋转。在平面△ABC 反映实形的投影中，保持平面不动，只将直线AD 绕垂直于平面△ABC 所平行投影面的轴（一条垂直轴）旋转，将直线AD 旋转成另一投影面平行线，则在这个直线AD 所平行的投影面中，直线AD 与平面△ABC 的夹角θ 就可直接反映出来。

作图：如图5.28（a）所示。

①第一次旋转，将平面△ABC 旋转成垂直面。在△ABC 上作一条水平线AE，绕不指明的铅垂轴将它旋转成正垂面。此时，直线AD 随之进行旋转。

②第二次旋转，再将平面△ABC 旋转成平行面。将第一次旋转中平面△ABC 具有积聚性的投影，绕过C 点的正垂轴旋转，将平面△ABC 旋转成水平面。此时，直线AD 也随之进行旋转。

③第三次旋转，保持平面不动，只将直线AD 绕过A 点的铅垂轴旋转，使直线AD 旋转成正平线。这时，直线AD 反映实长的投影 与平面△ABC 具有积聚性的投影之间的夹角，即为题目所求的夹角θ。

图5.28　求直线AE 与平面△ABC 的夹角θ