换面法的四个基本问题及注意事项

1）四个基本问题

从上述一系列的例子可以看出，当将空间几何元素变换成有利于解题的特殊位置时，其定位和度量问题就容易解决。直线、平面对投影面的特殊情况有这样四种：直线平行于投影面，直线垂直于投影面，平面垂直于投影面，平面平行于投影面。因此，换面法的基本问题就是围绕这四种情况进行的投影变换，归纳起来有以下四条：

①用一次换面，将原体系中的一般位置直线变换成新体系中的平行线（如【例5.1】）。此时，新轴平行于原体系中选定的保留投影。例如：若需获得水平线，保留投影为直线的正面投影；若需获得正平线，保留投影为直线的水平投影。

②用一次换面，将原体系中的一般位置平面变换成新体系中的垂直面（如【例5.4】）。此时，应先在平面上确定一条平行线。例如：若要获得正垂面，需先在平面上作水平线；若要获得铅垂面，需在平面上作正平线；新轴垂直于该平行线反映真长的投影，便可获得所需垂直面。

③用连续的二次换面，将原体系中的一般位置线变换成新体系中的垂直线（如【例5.7】）。此时，先作第一次变换：作新轴平行于原体系中选定的保留投影，将一般位置直线变换成平行线（同第一种基本问题）；再作第二次变换：作新轴垂直于第一次变换后获得的平行线反映真长的投影，将平行线变换成垂直线。

④用连续二次换面，将原体系中的一般位置平面变换成新体系中的平行面（如【例5.6】）。此时，先作第一次变换：作新轴垂直于平面上一条投影面平行线反映实长的投影，将一般位置平面变换成垂直面（同第二种基本问题）；再作第二次变换：作新轴平行于垂直面的积聚性投影，将垂直面变换成平行面。

2）应用换面法解决题目中遇到有关角度的问题

如图5.15（a）所示，欲求两平面的夹角θ，换面的关键是确定出两平面的交线，并将交线经过换面变换成垂直线。此时，夹角θ 必定在交线产生积聚的投影图中直接反映。这一问题可归结为将原体系中的一般位置线变换成新体系中的垂直线，即基本问题③，此问题已在【例5.8】中讲述过。

如果欲求两直线间的夹角φ，换面的关键是求出直线AB 、BC 所在的平面的实形（求△ABC的实形），即可获得夹角φ 的真实大小，这一问题可归结为基本问题④，如图5.15（b）所示。

如图5.15（c）所示，欲求直线与平面的倾角θ，可先过直线上的一点向平面作垂线，将求直线与平面倾角θ 的问题，转换成求该直线与垂线的夹角φ。φ 与θ 的关系是互为余角，此时求解的方法与图5.15（b）相同，仍然归结为基本问题④。

3）应用换面法解决题目中遇到的有关距离的问题

如图5.16（a）所示，欲求点到直线的距离，换面的关键是将直线变换成垂直线，在直线具有积聚性的投影中距离可直接反映出来。这一问题可归结为基本问题③，此问题已在【例5.7】中讲述过。

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图5.15　有关角度方面的问题

如图5.16（b）所示，欲求交叉两直线间的公垂线或距离，换面的关键是将其中一条直线变换成具有积聚性投影的垂直线，在该投影中公垂线或距离可直接反映出来，这一问题可归结为基本问题③。

如图5.16（c）所示，欲求点到平面的距离，换面的关键是将平面变换成具有积聚性投影的垂直面，这一问题可归结为基本问题②，此问题已在【例5.10】中讲述过。

图5.16　有关距离的问题

如图5.17（a）所示，要求在直线EF 上找出一点K，使它到△ABC 的距离为定长L 。此时换面的关键是，首先将平面变换成具有积聚性投影的垂直面，在该投影中作一个与已知平面△ABC 距离为L 并且相互平行的辅助平面Q，而直线EF 与辅助平面Q 的交点即为所求K 点，如图5.17（b）所示。

通过对以上几类问题的分析，不难总结出，空间几何问题的求解，均可归结为利用这四个基本问题来解决。

4）在用换面法解题时应注意的一些问题

①在换面过程中，每次只能变换一个投影面，新的投影面必须与保留投影面垂直，使之构成一个新的投影体系。如V/H→V1/H 或V/H→V/H1，绝不能一次同时变换两个投影面。

图5.17　求满足一定条件的点

②换面时要交替进行，即第一次以V1 面代替V 面，第二次必须以H2 面代替H 面，若还需继续变换下去，则第三次以V3 面代替V1 面，……，即由V/H→V1/H→V1/H2→V3/H2……地交替进行下去。

③每一次换面后所构成的新投影体系，都是在前一次两面体系的基础上进行的。因此，必须弄清楚每次换面的过程中，谁是新投影，谁是旧投影，谁是保留投影，以及谁是新轴，谁是旧轴。如在由V1/H→V1/H2 的变换过程中，在H2 面中的投影是新投影，V1 面中的投影是保留投影，H 面中的投影是旧投影。此时，X1 轴是旧轴，X2 轴是新轴。这样，才能保证在等量量取新投影到新轴距离等于旧投影到旧轴距离时不会出错。