土木工程制图：换面法解决定位和度量问题

1）一次换面的运用

在换面法中，新投影面的设置是十分重要的。下面结合几个例子来说明用一次换面解决空间几何元素间定位和度量问题时，新面是如何设置的。从前面的分析中我们得知：新投影面必须垂直原投影面之一；新面的设置必须有利解题。在投影图上，新面的设置是体现在画新轴的位置上。

【例5.1】如图5.5（a）所示，求一般位置直线AB 的实长及其倾角α。

【解】分析：当直线AB 为正平线时，AB 的正投影就反映实长，同时正投影与投影轴的夹角反映直线AB 的α 倾角。所以，在考虑本例的变换过程中，应将直线AB 变换成正平线，如图5.5（a）所示。不难看出，用新的V1 面代替V 面，可使V1 面平行于直线AB 的同时垂直于H 面。注意，该图中新轴与保留投影之间的关系是：新轴平行于保留投影，即X1∥ab。

作图：如图5.5（b）所示。

①作新轴X1∥ab。

②过保留投影a、b 作新轴垂线。

③量取= ，b′1bx1 = b′bx，从而获得A、B 两点在V1 面上的新投影。

④连接得直线AB 的新投影。此时反映实长，它与X1 轴的夹角即为直线AB 的倾角α。

图5.5　求一般位置直线AB 的实长及其倾角α

注意：在如图5.5（b）所示的作图过程中，X1 轴只需保持与ab 平行，两者间的距离对于求AB 直线的实长及倾角是没有影响的。

【例5.2】如图5.6 所示，求铅垂面△ABC 的实形。

【解】分析：从图5.6（a）中可以看出，需设置新投影面V1 代替原投影面V。由于△ABC 是铅垂面，所以V1 面在平行于△ABC 的同时一定要垂直于H 面。注意：此图中新轴与铅垂面积聚投影的关系是：新轴平行于铅垂面积聚性投影，即X1∥abc。

图5.6　求三角形ABC 的实形

作图：如图5.6（b）所示。

①作新轴X1∥abc（铅垂面的积聚性投影）。

②过保留投影a、b、c 作新轴垂线。

③分别量取点的新投影到新轴距离等于点的旧投影到旧轴距离，得，此时△反映△ABC 实形。

【例5.3】如图5.7 所示，求点到水平线AB 的距离L 及其投影cd、c′d′。

【解】分析：如设置新投影面垂直于直线AB，则直线AB 在新面上投影积聚为一点，此时，点C 的新投影亦是一个点，这两点间的距离就是所求点C 到直线AB 的距离；由于AB 是正平线，所以，应保留V 面，用新投影面H1 代替原投影面H，H1 面垂直AB 的同时一定垂直V 面。

投影作图：如图5.7（b）所示。

①作新轴X1⊥a′b′；过保留投影a′、b′作新轴垂线，分别量取点的新投影到新轴距离等于点的旧投影到旧轴距离，求出直线AB 的新投影a1（b1）（积聚）。同理，可求出点C 的新投影c1。

②积聚点a1（d1、b1）与c1 的连线即为所求距离的实长L。

③对于H1 面，由于距离L 是一条水平线，所以c′d′∥X1。

④根据距离的一个端点属于直线AB，即可求出cd。

图5.7　求点到平行线（正平线）的距离

【例5.4】如图5.8（a）所示，求一般位置面△ABC 的倾角α。

【解】分析：当把一般位置面变成垂直面后，倾角就可由垂直面的积聚性投影与对应投影轴的夹角来获得。由于题目中要求的是α 倾角，故H 面应当保留。从前面章节的学习中我们得知，正垂面的正投影具有积聚性，它与投影轴的夹角反映该平面的α 角。所以，需设置一个既与H 面垂直又与△ABC 垂直的V1 面来代替V 面。如图5.8（a）立体图中所示，如果在△ABC 上作一条水平线AD，使V1 面垂直于水平线AD，这样就保证了新建V1 面既垂直于△ABC 又垂直于H面。

作图：如图5.8（b）所示。

①在△ABC 中作一条水平线AD，由a′d′∥X，作出ad。

②作新轴X1⊥ad，由换面法的作图步骤，求出△ABC 的新投影，此投影具有积聚性。

③积聚性投影与X1 轴的夹角反映△ABC 的α 倾角。

图5.8　求平面的水平倾角

【例5.5】如图5.9（a）所示，求直线EF 与△ABC 的交点K。

【解】分析：由前例可知，若将△ABC 变换成垂直面，则新投影具有积聚性，此时可由平面的积聚性投影，直接求出它与直线的交点。从题目的条件中可看出，△ABC 的AB 边是水平线，所以需要建立新投影面V1 垂直于AB。

作图：如图5.9（b）所示。

①由于△ABC 中的AB 是水平线，所以作新轴X1⊥ab，便可将△ABC 变换成正垂面。此时直线EF 应随之进行投影变换。

②根据换面法作图步骤，求出△ABC 及直线EF 的新投影（积聚）及。此时便可直接获取交点。

③将返回到原投影体系中，由点K 从属于直线EF，得k 及k′，便求出了交点的投影。

④判断出可见性，即完成题目的要求。

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图5.9　求直线EF 与三角形ABC 的交点

2）二次换面法的运用

【例5.6】如图5.10（a）所示，求一般位置平面△ABC 的实形。

【解】分析：若直接设置新投影面平行△ABC，则新投影反映△ABC 实形。但由于△ABC 是一般位置面，与它平行的新投影面也一定是一般位置面，不能与原体系（V/H）之一的V 面或H面构成相互垂直的新体系。从【例5.2】可知，垂直面可以通过一次换面成为平行面，从而反映实形；又从【例5.4】可知，一般位置面可以通过一次换面成为垂直面。因此得到启示：可先将一般位置面经一次换面变换成垂直面，再将垂直面经第二次换面变换成平行面，从而获得△ABC的实形。

作图：如图5.10（b）所示。

①在△ABC 中作出正平线AD，即作ad∥X，再由d 得d′。

②作一次换面的新轴X1⊥a′d′。

③由换面法作图步骤，求出△ABC 一次换面后在H1 面上的新投影a1b1c1（具有积聚性）。

④作二次换面的新轴X2/ / a1b1c1，再由换面法作图步骤，求出△ABC 在V2 面上的新投影△，则该投影即反映△ABC 的实形。

图5.10　求一般位置平面△ABC 的实形

【例5.7】如图5.11（a）所示，求点C 到一般位置直线AB 的距离CD 及投影cd 、c′d′。

【解】分析：从前面【例5.1】及【例5.3】的求解中知道，当把一般位置直线变换成垂直线时，点到直线的距离在积聚性投影中可直接反映出来。如图5.11（a）所示，一般位置直线只能先变换成平行线后，才能再次变换成垂直线；在直线的二次变换过程中，点C 是随之进行变换的。

作图：如图5.11（b）所示。

①作一次换面的新轴X1/ /ab，将直线AB 变换成一平行线（正平线），此时点C 随之变换。

②由换面法作图步骤，求出直线AB 在V1 面的新投影。

③再作二次换面的新轴，将直线AB 变换成垂直线（铅垂线），此时点C 也随之变换。

④再由换面法作图步骤，求出直线AB 及点C 在H2 面上的投影a2b2（积聚）及c2，连线积聚点a2b2 与c2，即获得所求点C 到直线AB 的距离CD 在H2 面上的投影c2d2。c2d2 反映距离CD的实长。

⑤此时，由于CD⊥AB ，故在V1/H2 体系中直线CD 为H2 面的平行线。作，再由点D 从属于直线AB，就可逐步返回求出直线CD 的H 面及V 面投影。

图5.11　求点到一般直线的距离

【例5.8】已知由四个梯形平面组成的漏斗，如图5.12（a）所示。求漏斗相邻两平面ABCD和CDEF 的夹角θ。

【解】分析：如图5.12（b）所示，只要将两平面同时变换成同一投影面的垂直面，也就是将它们的交线CD 变换成投影面的垂直线，两个平面积聚性投影线段间的夹角就反映出这两个平面间的真实夹角。由于平面ABCD 与平面CDEF 的交线是一般位置直线CD，由前例知道，要将它变换成垂直线需要经过两次变换。又由于直线及直线外一点可确定一个平面，所以对于平面ABCD 和平面CDEF，只需变换共有的交线CD 以及平面ABCD 上的点A 和平面CDEF 上的点E即可，无须变换整个平面。

作图：如图5.12（c）所示。

①作一次换面的新轴X1∥c′d′，根据换面法的作图步骤，求出c1、 d1、 b1、e1 并连接c1d1。此时，共有的交线CD 变换成了平行线（水平线）。

②作二次换面的新轴X2⊥c1d1，根据换面法的作图步骤，求出。此时 具有积聚性，它与的连线即为平面ABCD 和平面CDEF 的积聚性投影，即反映出了两平面的夹角θ。

【例5.9】如图5.13（a）所示，正方形ABCD 的顶点A 在直线SH 上，顶点C 在直线BE 上，请补全正方形ABCD 的两面投影。

图5.12　求相邻两平面的夹角θ

【解】分析：因为正方形相邻两边相互垂直并相等，其中BC 边在直线BE 上，所以需经过一次换面，将直线BE 变换成平行线。此时可按一边平行于投影面的直角的投影特性，求出BC 边相邻边AB 的投影。在一次换面后的投影体系中，AB 边仍为一般位置直线，故应再作第二次换面，只将AB 边变换成平行线，这样，就求出了正方形的边长。在直线BE 反映实长的投影中，由AB 等于BC 便可确定出C 点。

图5.13　补全正方形ABCD 的投影

作图：如图5.13（b）所示。

①将直线BE 变换成平行线，求出顶点A 和AB 边。作一次换面的新轴X1∥be，根据换面法的作图步骤，求出，并且连接和线段，此时，已将直线BE 变换成了正平线。由直角投影定理，作，求出点及线段。

②进行第二次换面，此时只需将AB 边变换成平行线。作新轴X2∥，根据换面法的作图步骤，求出线段a2b2，即为反映正方形边长的实长投影（即AB= a2b2）。

③由（即AB=BC），得到点。再由点C 从属于直线BE，点A 从属于直线SH，逐次返回原投影体系中，根据正方形的几何性质——对边平行并且相等，便可求出正方形ABCD的投影。

【例5.10】如图5.14 所示，已知点K 到△ABC 的距离为10 mm，求点K 的水平投影k。

【解】分析：从前面的【例5.4】中我们知道，一般位置平面可以经过一次换面变换成为垂直面；当平面在新投影面上的投影具有积聚性时，平面外一点到平面的距离就会在平面具有积聚性的投影中直接反映出来。

图5.14　已知点K 到平面的距离为定长10 mm，求水平投影k

作图：如图5.14（b）所示。

①进行一次换面，将△ABC 变换成投影面的垂直面。先在△ABC 上作水平线AD，作新轴X1⊥ad。根据换面法的作图步骤，作出△ABC 在新投影面V1 上的投影。此投影具有积聚性，点K 在V1 面上的投影只能根据K 点的旧投影到旧轴的距离等于新投影到新轴的距离，画出一条平行于X1 轴的直线。

②根据已知条件，K 点到△ABC 的距离等于10 mm，在△ABC 具有积聚性的投影面（V1 面）上，作与积聚性投影相距10 mm 的平行线（可作出两条），这两条平行线与前面作的平行于X1 轴的平行线l′1相交，就是K 点在V1 面上的新投影。

③由向X1 轴作垂线并延长，它与由k′向X 轴所作垂线的交点，就为K 点的水平投影k。

④由于第②步骤所作的距离等于10 mm 平行线有两条，所以本题有两解。