土木工程制图：平行平面分析及举例

【例4.15】过点K 作平面既与直线MN 平行，又与△ABC 垂直，如图4.39（a）所示。

【解】分析：要求所作平面平行于直线MN，只需要保证平面包含一条平行于MN 的直线；同时，平面垂直于另一平面，只需要保证此平面包含另一平面的垂线。本题对平面的表达方式没有特殊限定，因此只需要过已知点K 分别作满足上述条件的两条相交直线表达的平面即为所求，如图4.39（b）所示。

作图：如图4.39（c）所示。

①过点K 作直线KL∥MN。投影作图步骤为：分别过k′、k 作k′l′∥m′n′，kl∥mn。

②过点K 作直线KF⊥△ABC。投影作图步骤为：分别在平面ABC 上作出水平线AD 与正平线CE，分别过k′、k 作k′f′⊥c′e′，kf⊥ad。相交直线KL、KF 所表示的平面即为所求。

图4.39　过点K 作一平面既与直线MN 平行又与△ABC 垂直

注意：此题只需要作出垂直于△ABC 的直线的方向，并不需要求出准确的垂足位置，因此F点可以是垂线上任意一点。

【例4.16】作直线MN 与交叉直线AB 和CD 相交，并平行于直线EF，如图4.40（a）所示。

【解】分析：要求作直线MN 平行于EF，且交叉直线AB、CD 均相交。如果用轨迹分析法进行空间分析，先少考虑一个要求，与已知直线AB 相交并和已知直线EF 平行的直线的轨迹是一个包含AB 且平行于EF 的平面。同理，与已知直线CD 相交并和已知直线EF 平行的直线的轨迹是一个包含CD 且平行于EF 的平面。要同时满足这两条几何轨迹的要求，所求直线MN 必为上述两平面的交线。EF 已确定MN 的方向，故只需求得属于交线的一个交点即可。所以，空间作图步骤为：过AB（或CD）作平面平行于EF（图中过点A 作直线AL 平行于EF，AL 和AB 所确定的平面平行于EF）；再求此平面与另一直线CD 的交点M；最后过N 作MN 平行于EF，交AB 于N，MN 即为所求直线，如图4.40（b）所示。

作图：如图4.40（c）所示。

①过点A 作直线AG∥EF。分别过a′、a 作a′g′∥e′f′，ag∥ef。相交直线AB、AG 确定的平面平行于EF。

②求CD 与上述平面的交点M。含CD 作正垂面R 为辅助面，RV 与c′d′重合，在V 面投影上直接确定辅助面R 与上述平面交线的V 面投影g′j′，由g′j′求出g j。g j 与cd 的交点m 即为点M 的H 面投影，由m 求出m′。

③过点M 作直线MN∥EF。过m 作mn∥ef，且交ab 于n，再过m′作m′n′∥e′f′，且交a′b′于n′。作图时注意nn′必须垂直于投影轴OX，MN（mn，m′n′）即为所求直线。

按空间分析，本题还有另一种作图方法。即过交叉直线AB、CD 分别作平面平行于直线EF，求出两平面的交线即得所求直线。此题和图4.38 中过点E 作一直线与两交叉直线AB、CD均相交的题属同一类型，思路相同，只是限定所求直线不同，一个是通过同一点，而另一个是平行于同一直线。

图4.40　作直线MN 平行于直线EF 并与两交叉直线AB、CD 均相交

【例4.17】求作以AB 为底，顶点C 属于直线MN 的等腰△ABC，如图4.41（a）所示。(www.xing528.com)

图4.41　作等腰△ABC

【解】分析：如图4.41（b）所示，如果等腰△ABC 已作出，其顶点C 既属于AB 的中垂面，又属于直线MN，所以顶点C 必为AB 的中垂面与MN 的交点。

作图：如图4.41（c）所示。

①作AB 的中垂面P。过AB 的中点D，分别作⊥AB 的正平线DⅠ和水平线DⅡ，DⅠ和DⅡ所确定的平面为AB 的中垂面。

②求MN 与所作中垂面的交点。含MN 作辅助正垂面Q，求平面Q 与中垂面的交线ⅠⅡ（1′2′，12）。12 与mn 的交点c 即为等腰△ABC 的顶点C 的H 面投影，由c 作出c′。

③分别连接△a′b′c′，△abc，△ABC 即为所求等腰三角形。

此题要求还可能有其他描述方式，例如：求MN 上一点C，使其到线段AB 两端点A、B 距离相等；求MN 上一点C，使AB 分别与CA、CB 的夹角均相等；求作以AB 为对角线、顶点C 属于MN 的菱形等，但其分析、作图均与本例相同。

【例4.18】作平面P，使P∥△ABC，且距△ABC 为定长L，如图4.42（a）所示。

图4.42　作与已知平面距离为定长L 的平行平面

【解】分析：如图4.42（b）所示，假定所求平面P 已作出，则相互平行的平面P 和△ABC 之间的任一垂线实长为L。故过点A 作的垂线上取AD = L，然后过点D 作平面P 平行于△ABC 即可。

作图：如图4.42（c）所示。

①过点A 作△ABC 的垂线AK。先在△ABC 内取正平线AM 和水平线AN，然后过a 作ak⊥an，过a′作a′k′⊥a′m ′，K 点可以为垂线AK 上的任意一点。

②在△ABC 的垂线AK 上取点D，使AD=L。先用直角三角形法求AK 的实长，然后确定D。在AK 的实长aK0 上量取aD0 =L，作D0d∥K0k 交ak 于d，由d 求出d′。

③过点D 作平面P 平行于△ABC（用相交直线表示）。过d 作de∥ab，df∥ac；再过d′作d′e′∥a′b′，d′f′∥a′c′，由DE（de，d′e′）和DF（df，d′f′）确定的平面P 为平行于△ABC 且距离为L 的平面。

本题有两解，另一解在△ABC 的另一侧距离为L 处。另外，本题涉及一个重要的基本作图，即在一条定直线上利用定比确定所需要的点。