土木工程制图|平面与平面的平行关系

1）几何条件

同一平面内的两相交直线，若分别平行另一平面内的两相交直线，则两平面平行，如图4.7所示。

如果平面内相互平行的两条直线，同时与另一平面中相互平行的两直线平行，则并不能判断这两个平面是否平行。如图4.8（b）所示，两相交平面中都存在多条与平面的交线平行的直线。

图4.7　平面与平面平行

图4.8　两平面中存在多条平行的直线

2）投影作图

平面与平面平行中，常见问题有两类：一是作平面平行于已知平面；二是判别两平面是否平行。

根据平面本身与投影面的关系，可以得知平面是否具有积聚性。当投影无积聚性时，需要在平面内找两条相交辅助直线来解决两平面平行的问题；而投影有积聚性时，则不需找辅助直线就能解决两平面平行的问题。

（1）两特殊位置平面平行

若两特殊位置平面平行，这两个平面必是同一个投影面的特殊面，并且积聚性投影相互平行，此时两积聚性投影之间的距离等于两平面的空间距离。如图4.9 所示，两铅垂面P、Q，若PV∥QV，则P∥Q；反之，P∥Q，则PV∥QV。

图4.9　两个铅垂面相互平行

（2）两一般位置平面的相互平行(www.xing528.com)

当一般位置平面用迹线表示时，两平面平行时其同面迹线一定相互平行。图4.10 中，若P∥Q，则PH∥QH，PV∥QV。但是同面迹线之间PH 和QH或者PV 和QV 的距离均不等于两平行平面P、Q 之间的空间距离。

【例4.5】 过点M 作一个平面与△ABC 平行，如图4.11（a）所示。

【解】分析：此题并未限定所求平面的表示方式，故可依据直线与直线、平面与平面平行的几何条件，直接用两相交直线表示所求平面。这时只需选择任意两条△ABC 上的相交直线，分别过点M 作其平行线，所作的相交两直线确定的平面即为所求。

图4.10　用迹线表示的两个平面平行

图4.11　过点M 作一个平面平行于已知△ABC

作图：如图4.11（b）所示。

①在V 上过点m′作直线m′n′∥a′b′、m′l′∥a′c′；

②在H 上过点m 作直线mn∥ab、ml∥ac；则相交两直线MN 与ML 所确定的平面平行于△ABC。

【例4.6】试判别△ABC 和平面LMN 是否相互平行，如图4.12（a）所示。

【解】分析：判断两平面是否平行，取决于能否在其中一平面（如△ABC）上作出两条相交直线，同时平行于另一平面（如平面LMN）。题目中平面LMN 已经存在一条直线MN 平行于BC，此时的关键是能否在平面LMN 过点L 作出与MN 相交且平行于△ABC 的一条直线。

作图：如图4.12（b）所示。在水平投影中过点l 作lk∥ac，与mn 相交于k，求得K 点的V 面投影k′，连接l′k′，得知l′k′与a′c′并不平行，故△ABC 与平面LMN 不平行。

图4.12　判别两平面是否平行