如何判断直线和平面平行？

1）几何条件

若平面外的一直线与平面内任一直线平行，则直线与该平面平行；反之，若一直线与平面平行，则平面上必然包含与该直线平行的直线。

图4.1 中，直线AB 在平面P 之外，同时与平面P 上的直线CD 相平行，则直线AB 与平面P平行，在平面P 中包含无数条与AB 平行的直线。另一直线EF 与平面P 平行，则过平面P 内的任意一点M 可作出直线MN 平行于直线EF，同时MN 属于平面P。

2）投影作图

根据上述几何条件，可以解决两类常见的投影作图问题：一是作直线平行于一已知平面或者作平面平行于已知直线；二是判断直线与平面是否平行。

图4.1　直线与平面平行

根据直线或平面与投影面的相对位置关系，这两类投影作图问题又可分成一般情况和特殊情况。

（1）平行的特殊情况——直线与特殊平面平行

平面是特殊平面时，至少有一个投影积聚，此积聚性投影成为解题入手点。若直线平行于特殊平面，则平面的积聚性投影一定与直线的同面投影平行，且两者间距等于直线与特殊面的空间距离（图4.2）。

图4.2　直线与垂直面平行

【例4.1】过已知点K 作铅垂面P 和正垂面Q（用迹线表示）均平行于直线AB，如图4.3（a）所示。

图4.3　过点K 作铅垂面P、正垂面Q 均平行于AB

【解】分析：P⊥H，其H 面投影积聚，所求P∥AB，只需作PH∥ab 即可；Q⊥V，其V 投影积聚，所求Q∥AB 只要保证QV∥a′b′即可。

作图：如图4.3（b）所示。

①在H 面投影中过k 作PH∥ab；

②在V 面投影中过k′作QV∥a′b′。

注意：这里的PH 与QV 分别是两个平面的迹线，并非同一条直线的两面投影。(www.xing528.com)

【例4.2】 过已知点K 作直线KL 平行于已知平面△ABC，如图4.4（a）所示。

图4.4　过点K 作直线KL∥平面△ABC

【解】分析： KL∥△ABC，只需KL 平行平面中任意一条直线即可。已知△ABC 的H 面投影积聚为一条直线，如果直线KL 的H 面投影与△ABC 的H 面投影平行，那么KL∥△ABC。而此时直线KL 的V 面投影方向无穷多，故KL 有无数多条。

作图：如图4.4（b）所示。作kl∥ab，k′l′∥a′b′，KL 即为满足题目要求的答案之一。

（2）平行的一般情况——直线与一般位置平面平行

判断直线是否与一般位置平面平行，需利用直线与平面平行的几何条件，寻找平面中是否存在与已知直线平行的直线，因为一般位置平面的投影不具有积聚性，所以必须要对照各面投影判断这两直线是否平行。

【例4.3】过已知点M 作正平线MN 平行于已知平面△ABC，如图4.5（a）所示。

图4.5　过点M 作正平线MN∥平面△ABC

【解】分析：△ABC 为一般位置平面，要求所作直线MN 为正平线，同时也要平行于平面△ABC，则MN 应平行于平面△ABC 上的正平线。可见，应首先作平面△ABC 上的正平线。

作图：如图4.5（b）所示。

①作平面△ABC 上的正平线AD。在H 面投影中过a 作ad∥OX，与bc 相交于点d，求得d点的V 面投影d′，连接a′d′，得AD 的H、V 两面投影。

②过点M 作直线MN∥AD。在H 面投影中过m 作mn∥ad，在V 面投影中过m′作m′n′∥a′d′，即得所求正平线MN∥△ABC。

【例4.4】试判别直线KL 是否与△ABC 平行，如图4.6（a）所示。

【解】分析：△ABC 为一般位置平面，KL 若与其平行，必然在△ABC 中存在与KL 平行的直线。解决此类问题，需要尝试在已知平面中作已知直线的平行线。若能作出，两者平行；反之，则不平行。

图4.6　判别直线KL 与△ABC 是否平行

作图：如图4.6（b）所示。在V 面投影中过a′作a′d′∥k′l′，与b′c′相交于d′，作出AD 的H面投影ad。ad 与kl 不平行，故KL 与平面△ABC 不平行。

综上所述，当直线与特殊位置平面平行时，该平面的积聚性的投影和直线同面投影必然平行，其间距就是直线与特殊位置平面之间的实际距离，作图时不必作在平面内找辅助直线；当直线与一般位置平面的平行时，投影作图都必须归结为两直线的平行问题，必须在平面内找辅助直线。因此，作直线与平面平行，作图前必须先对平面的位置进行分析，判断其是否是特殊平面，以便于确定具体作图步骤。