两直线的相对位置说明，从土木工程制图的角度解读

两直线的相对位置有三种：平行、相交和相叉（即异面）。

1）两平行直线

根据平行投影的特性可知：两直线在空间相互平行，则它们的同面投影也相互平行。

对于一般位置的两直线，只需根据任意两面投影互相平行，就可以断定它们在空间也相互平行，如图3.26 所示。但对于特殊位置直线，有时则需要作出它们的第三面投影，来判断它们在空间的相对位置，如图3.27 中的两条侧平线AB 和CD，虽然其V 面、H 面的投影都平行，但它们的W 投影并不平行，所以在空间里这两条侧平线线是不平行的。当然，也可以根据两直线投影中的比例关系来确定他们是否平行，如图3.27 中的两条侧平线AB 和CD 的V 投影与H 投影的比例关系明显不同，故这两条侧平线线是不平行的。

图3.26　两一般位置直线平行

图3.27　不平行的两侧平线

如果相互平行的两直线都垂直于同一投影面，则在该投影面上的投影都积聚为两点，两点之间的距离反映出两条平行线的真实距离，如图3.28 所示。

图3.28　两平行线垂直与同一投影面

2）两相交直线

所有的相交问题都是一个共有的问题，因此，两相交直线必有一个公共点即交点。由此可知：两相交直线，则它们的同面投影也相交，而且交点符合点的投影特性。

同平行的两直线一样，对于一般位置的两直线，只要根据两面投影，就可以判别两直线是否相交。如图3.29 所示的直线AB 和CD 是相交的；而图3.30 中的直线AB 和CD 就不相交，它们是交叉的两直线。但是，当两直线中一条是投影面的平行线时，有时就需要看一看它们的第三面投影或通过直线上点的定比性来判断。

图3.29　相交的两直线图

图3.30　交叉的两直线(www.xing528.com)

当两相交直线都平行于某投影面时，相交二直线的夹角等于相交二直线在该投影面上的投影的夹角，如图3.31 所示。

3）相叉的两直线

如图3.32 所示，在空间里既不平行也不相交的两直线，就是相叉直线。由于交叉直线不能同在一个平面，在立体几何中把交叉直线又称为异面直线。

图3.31　平行于投影面的两相交直线该投影面上两直线的反映真实夹角

如果两条直线的同面投影相交，要判断这两条直线是相交的还是相叉的，就要判断它们的同面投影交点是否符合直线上的点的从属性或定比性。如图3.32 中，V 投影a′b′和c′d′的交点与H 投影ab 和cd 的交点是重影点，则AB 与CD 相叉直线。

事实上，交叉两直线投影在同一投影面的交点是这个投影面的重影点。如图3.34 中，ab和cd 的交点是空间AB 上的Ⅰ点和CD 上的Ⅱ点的H 投影。Ⅰ在Ⅱ的正上方，H 投影1 重合于2，用符号1（2）表示。同样的，a′b′和c′d′的交点是空间CD 上的Ⅲ点和AB 上的Ⅳ点的V 投影，Ⅲ在Ⅳ处正前方，V 投影3′重合于4′，用符号3′（4′）表示。

图3.32　交叉直线

如果两条直线中有一条或两条是侧平线，并且已知的是V、H 投影，则可通过W 投影判断两直线的相对位置是平行还是交叉，如图3.33 所示。当然也可以利用CD 的V、H 投影中所谓交点的定比性来判断，如图3.33 中CD 的V、H 投影中，如果将1′、1 视为c′d′及cd 上，其定比性显然不同，故直线AB、CD 为交叉二直线。

图3.33　交叉直线中有一条侧平线

图3.34　判别交叉直线的可见性

【例3.10】判别交叉两直线AB 和CD 上重影点的可见性，如图3.34 所示。

【解】①从W 投影的交点1″（2″）向左作投影连线，与c′d′相交于2′，与a′b′相交于1′。因为1′左于2′，所以AB 上的Ⅰ点在CD 上的Ⅱ点的正左方。1″可见，2″不可见，在W 投影上将2″打上括号。

②从V 投影的交点3′（4′），向右作投影连线，与a″b″相交于4″点，与c″d″相交于3″点。因为3″前于4″，故3′可见，4′不可见，在V 投影上将4′打上括号。