一般位置直线长度及其倾角|土木工程制图

一般位置直线的投影的长度均不反映直线本身的实长，如图3.22 所示。那么，如何根据一般位置直线的投影来求出它的实长与倾角呢？先从立体图中来分析这个问题的解法。

1）直线与H 面的倾角α

在图3.23（a）中，过空间直线的端点A 作直线AB0∥ab，得直角△AB0B。∠BAB0 就是直线AB 与H 面的倾角α，AB 是它的斜边，其中一条直角边AB0 =ab，而另一条直角边BB0 =Bb -Aa=ZB -ZA。ZA、ZB 即为A、B 两点的Z 坐标值，ZB -ZA 为A、B 两点的高度差。

图3.22　直线的倾角

图3.23　用直角三角形法求一般位置直线的实长与倾角

根据图3.23（a）分析可知，在直线的投影图上，可以作出与直角△AB0B 全等的一个直角三角形，从而求得直线段的实长AB 及与H 面的倾角α。其作图方法如图3.24（b）所示。

①过水平投影ab 的端点b 作ab 的垂线；

②在所作垂线上量取bb0 =ZB -ZA，得b0 点；

③用直线连接a 和b0，得Rt△abb0，此时，ab0 =AB，∠bab0 =α。

2）直线与V 面的倾角β

在图3.23（a）上过点B 作直线BA0∥a′b′，A0 点在投影线Aa′上，得Rt△ABA0，AB 是它的斜边，AA0 和BA0 是它的两条直角边。此时，BA0 =a′b′；而AA0 =Aa′-Bb′=YA -YB。因此，用a′b′及距离差YA -YB 为直角边作直角三角形，也能求出线段AB 的实长。作法如图3.23（b）所示。所得的Rt△ 的斜边等于线段AB 的实长，与a′b′的夹角等于线段AB 与V 面的倾角β。

3）直线与W 面的倾角γ

γ 角的求法与上面所述一样，如图3.22 中，作BA1∥a″b″，在Rt△ABA1 中，AA1 为A、B 两点之间的X 坐标差，BA1 的长度等于AB 在W 面上投影a″b″的长度，∠ABA1 =γ。同样的道理，该直角三角形大小可以在投影图上表达出来。

综上所述，在投影图上求一般位置直线的实长的方法是：以直线在某个投影面上的投影为一直角边，以直线的两端点到这个投影面的距离（坐标）差为另一直角边，作一个直角三角形，此直角三角形的斜边就是一般位置直线的实长，而斜边和投影的夹角，就等于直线对该投影面的倾角。这种方法称为“直角三角形法”。在这个直角三角形法中，实长、距离差、投影长、倾角四个要素，任知其中两者，便可以求出其余两者。而距离差、投影长、倾角三者均是相对于同一投影面而言。例如，要求直线对H 面的倾角α、实长，应该知道该直线的H 面投影以及线段两端点对H 面距离差，即Z 坐标差。(www.xing528.com)

值得注意的是，直角三角形法是一种在投影图中还原空间线面角的作图方法，因此，可以在任何地方表达所需对应的直角三角形。

【例3.8】试用直角三角形法求直线CD 的实长及对V 面的倾角β。

【解】分析：此题是求直线CD 对V 面的倾角β，根据直角三角形法的四个要素，已知条件中有两个要素：CD 的V 投影c′d′为一直角边，另一直角边则应是直线CD 的两端点到V 面的距离差（Y 坐标差）。这样，就可以得到另外的两个要素：直线CD 的倾角β 和实长。

作图：如图3.24 所示。

图3.24　求直线的真长和倾角

①过水平投影c 作X 轴的平行线，与d′d 交于d0，并延长该线；

②取d0c0 =c′d′，将c0 与d 相连；

③此时，c0d=CD，∠dc0d0 =β，如图3.24 所示。

【例3.9】已知直线CD 对H 面的倾角α=30°，作出直线的V 投影c′d′，如图3.25（a）所示。

【解】分析：此题直接给出直线的倾角α 和直线的H 投影，要求作直线的V 投影。这两个条件正好是直角三角形法四个要素中对H 面的两个，可以构成直角三角形。这个直角三角形中的另两个要素中就包含了c′d′两端的高度差，有了这高度差就可以补全CD 的V 投影。

作图：如图3.25（b）所示。

①过c′作OX 轴的平行线，与过点D 的投影连线相交，得，并延长至，使 =cd。

②自对作30°斜线，此斜线与过D 的投影连线相交于d′。

③连接c′和d′，得正面投影c′d′（因为高度差不能确定上下方，所以该题有两解）。

图3.25　已知直线α=30°，求直线V 投影