水处理工程实验：简便易行的0.618法适用于单峰函数

单因素优选法中，对分法的优点是每次实验可以将实验范围缩短一半，缺点是要求每次实验要确定下次实验的方向。有些实验不能满足这个要求，因此，对分法的应用受到一定限制。

科学实验中，有相当普遍的一类实验，目标函数只有一个峰值，在峰值的两侧实验效果都差，将这样的目标函数称为单峰函数。如图3-3所示为一个上单峰函数。

图3-3　上单峰函数

0.618法适用于目标函数为单峰函数的情形。其做法如下：

设实验范围为[a，b]，第一次实验点x1选在实验范围的0.618位置上，即

第二次实验点选在第一点x1的对称点x2上，即实验范围的0.382位置上：

实验点x1，x2如图3-4所示。

图3-4　0.618法第1、2个试验点分布

设f（x1）和f（x2）表示x1和x2两点的实验结果，且f（x）值越大，效果越好。

（1）如果f（x1）比f（x2）好，根据“留好去坏”的原则，去掉实验范围[a，x2）部分，在剩余范围[x2，b]内继续做实验。

（2）如果f（x1）比f（x2）差，同样根据“留好去坏”的原则，去掉实验范围[x1，b]，在剩余范围[a，x1]内继续做实验。

（3）如果f（x1）和f（x2）实验效果一样，去掉两端，在剩余范围[x1，x2]内继续做实验。

根据单峰函数性质，上述3种做法都可使好点留下，将坏点去掉，不会发生最优点丢掉的情况。

继续做实验：

第一种情况下，在剩余实验范围[x2，b]上，用式（3-3）计算新的实验点x3：

如图3-5所示，在实验点x3安排一次新的实验。

图3-5　在第一种情况时第3个实验点x3(www.xing528.com)

第二种情况下，剩余实验范围[a，x1]，用式（3-4）计算新的实验点x3。

如图3-6所示，在实验点x3安排一次新的实验。

图3-6　在第二种情况时第3个实验点x3

第三种情况下，剩余实验范围为[x2，x1]，用式（3-3）和式（3-4）计算两个新的实验点x3和x4。

在点x3和x4安排两次新的实验。

无论上述3种情况出现哪一种，在新的实验范围内都有两个实验点的实验结果，可以进行比较。仍然按照“留好去坏”原则，再去掉实验范围的一段或两段，这样反复做下去，直至找到满意的实验点，得到比较好的实验结果为止，或实验范围已很小，再做下去，实验结果差别不大，就可停止实验。

例如：为降低水中的浑浊度，需要加入一种药剂，已知其最佳加入量在1000～2000g的某一点，现在要通过做实验找到它，按照0.618法选点，先在实验范围的0.618处做第1个实验，这一点的加入量可由式（3-3）计算出来。

再在实验范围的0.382处做第二次实验，这一点的加入量可由式（3-4）计算出，如图3-7所示。

图3-7　降低水中浑浊度第1、2次实验加药量

1000+0.382(2000-1000)=1382g

比较两次实验结果，如果x1点较x2点好，那么去掉1382以下的部分，然后在留下部分再用式（3-3）找出第三个实验点x3，在点x3做第3次实验，这一点的加入量为1764g，如图3-8所示。

图3-8　降低水中浑浊度第3次实验加药量

如果仍然是x1点好，那么去掉1764g以上的一段，在留下部分按式（3-4）计算得出第四实验点x4，在点x4做第四次实验，这一点的加入量为1528g，如图3-9所示。

图3-9　降低水中浑浊度第4次实验加药量

如果这一点比x1点好，那么去掉1618到1764这一段，在留下部分按同样方法继续做下去，如此重复最终即能找到最佳点。

总之，0.618法简便易行，对每个实验范围都可计算出两个实验点进行比较，好点留下，从坏点处把实验范围切开，丢掉短而不包括好点的一段，实验范围就缩小。在新的实验范围内，再用式（3-3）、式（3-4）计算出两个实验点，其中一个就是刚才留下的好点，另一个是新的实验点。应用此法每次可以去掉实验范围的0.382，因此可以用较少的实验次数迅速找到最佳点。