高职数学教学改革：意识与应用

数学的英文是“mathematics”，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位”。自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成系统化的理论知识总和，既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。

从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。”欧几里得的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识。另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识”，相似性知识被发现得如此之早。因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A.N.Whitehead）在《数学与善》中说：“数学的本质特征就是：在从模式化个体作抽象的过程中对模式进行研究。数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术”。1931年，歌德尔（Godel）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为数学兼有演绎科学和经验科学2种特性。

对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，对数本质特征的认识实际上是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，人们自然认为数学是一种经验科学。随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位。因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问等观点。这些认识既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的：“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释。另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量信心的集中体现。因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的。通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家得出的结论显然是毋庸置疑、无可辩驳的。

事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程。而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G.Poliva）认为：“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里得方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说数学是一种相当特殊的活动，这种观点是区别于数学作为印在书上和铭记在脑子里的东西。他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成一种组织得很好的状态，也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，不能没有数学是因为他们需要应用数学，对于大众来说是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因说：“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的。”数学活动由形式、算法与直觉3个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊也说：“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们综合所做的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”

另外，对数学还有一些更加广义的理解。如有人认为“数学是一种文化体系”“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响。也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）表现出的经久创造性活动，具有和艺术家，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家严格的演绎推理在这里可以比作专门的技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，与其他一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力”。“数学是推理的音乐”，而“音乐是形象的数学”，这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体构成，那么数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，数学就起着科学的作用。数学这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，有助于我们做出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动。数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验。作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们掌握。数学的学习不会同时自动进行，需要靠人来传授。所以，数学也是社会的教育体系中的一个教学科目”。(www.xing528.com)

从以上所述可以看出，人们从不同侧面讨论了数学的具体特点，比较普遍的观点是数学有抽象性、精确性和应用的广泛性。

针对数学的特点，我们在教学中通过各种途径和方法，改变学生应用数学的观念，让学生逐步意识到数学的应用不仅在于数学知识本身，不但是学好专业课的重要工具，更重要的是能够培养人的严密的逻辑思维、抽象思维，提高人们分析问题、解决问题的能力，从而提高个人的创新能力。学好数学将使一个人终身受益。

意识是心理反应的最高形式，是人特有的心理现象。数学应用意识本质上是一种认识活动。数学应用意识是主体主动从数学的角度观察事物、阐述现象、分析问题，用数学的语言、知识、思想方法描述、理解和解决各种问题的心理倾向性，是一种精神状态、一种意向，基于对数学的基础性特点和应用价值的认识，遇到任何可以数学化的现实问题就产生用数学知识、方法、思想方法尝试解决的冲动，并且很快依循科学合理的思维路径，搜寻到一种较佳的数学方法解决，体现运用数学的观念、方法解决现实问题的主动性。高职学生的数学应用意识不同于一般高校学生，更自觉、更主动、更具有针对性。

建构主义认为，知识是学习者在一定情境下借助学习时，获取知识过程中其他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。在建构主义意义下，学生的数学应用意识是在主体对知识主动建构的基础上形成的。要培养学生的数学应用意识，可以通过创设数学应用的情景，激发学生对数学应用的学习兴趣，帮助学生形成学习动机，引导学生主动建构数学应用意识，促使学生数学应用意识的形成。