大学物理教程中的磁场能量分布

1.磁场的能量

一个自感为L与一个电阻为R所组成的LR电路，在阶跃电压作用下，电感的存在将使电路中的电流不会瞬间突变，将逐渐趋于恒定状态，这个过程称为暂态过程。

如图13-11所示的电路，当开关K拨向1时，一个从0到ε的阶跃电压作用在LR电路上；由于自感的作用，在电流增加的过程中将出现自感电动势它与电源的电动势ε共同决定电路中的电流大小。根据欧姆定律，有

图13-11　暂态过程

将式（13-15）对电流增长过程进行积分，设t=0时I=0，而任意时刻t的电流为I，则有

这个结果表示电流增长过程中的能量转换关系：电源对回路输入的能量，一部分储存在自感线圈之中，一部分转化为焦耳热输出到外界。把储存在自感线圈中的能量积分出来，即

当开关K拨向2时，电路中所出现感应电流的能量在数值上仍是，因此说明能量是由于磁场的消失而转换来的。当I=I0时，磁场能量（简称磁能）为

式中，L的单位为H；I0的单位为A；Wm的单位为J。

2.能量密度

前面介绍，对于长直螺线管L=μn2V，而长直螺线管内H=nI，B=μnI，故

这表明磁场能量与螺线管的体积，即与磁场所填充的空间成正比，且意味着能量确实是存在于磁场空间中的。螺线管的磁场是匀强磁场，故磁场能量也应是均匀分布的，所以磁场能量密度（简称磁能密度）为

式（13-19）即为磁场能量密度的公式，此式虽由螺线管特例给出，但适用于一般情况。它也可以改写为其他形式，即(www.xing528.com)

根据已知条件的不同，可以使用式（13-20）的不同形式。

利用磁场能量密度可以计算一般非匀强磁场的能量。在非匀强磁场中取一体积元dV，在dV内，介质和磁场都可以看作是均匀的，所以磁场能量密度也可以看作是均匀的。若介质的磁导率为μ，磁感应强度为B，则由磁场能量密度公式，即可求出体积元内的磁场能量密度wm，进而求出体积元内的磁场能量为

而空间中某一体积V中的磁场能量为

例13-4　设有一电缆，由两个无限长的同轴的圆柱状导体所构成，内、外圆筒之间充满磁导率为μ的磁介质，内圆筒和外圆筒上的电流方向相反，而电流大小I相等。设内、外圆筒横截面的半径分别为R1和R2，如图13-12所示。试计算：（1）长度为l的一段电缆内的磁能；（2）该段电缆的自感系数为多少？

图13-12　例13-4图

解　（1）已知同轴电缆的磁场全部集中在内、外圆筒之间，根据安培环路定理可得，在离开轴线的距离为r（R1＜r＜R2）处的磁感应强度为

可得内、外圆筒之间各点处的磁能密度为

在半径为r与r+dr，长为l的两个圆柱面所组成的体积元dV内，磁能为

对上式积分，可得内、外圆筒之间的磁场内储存的总磁能为

（2）由于磁能也可用计算，将此式与上面结果相比可得