载流导线在磁场中所受力-大学物理教程

1.安培定律

安培最先发现两条静止载流导线之间存在相互作用力，并正确地把每一导线所受的力解释为另一导线对它的磁场力。后来人们认识到导线中的电流是带电粒子的定向运动，而运动的带电粒子在磁场中要受洛伦兹力，这两者的结合就给安培力提供了一个明确的微观解释。具体地说，把载流导线置于磁场B中，则导线内作定向运动的带电粒子必将受到B的洛伦兹力F=q v×B，其中q和v分别是粒子的电荷量和定向运动速度，洛伦兹力F的方向与v垂直（横向力），但粒子因受到导线的约束而不能从横向离开导线，其结果便表现为导线本身受到一个横向力，这就是安培力，可见安培力是洛伦兹力的一种宏观表现。

下面从洛伦兹力表达式出发推导静止载流导线的安培力公式。如图12-19所示，一个长度为dl、横截面积为S的小柱体，可看作一个电流元Idl（其中I为截面S的电流，电流密度为j）。设元段内单位体积的载流子数为n，每个载流子电荷量为q，其定向运动速度为v，则可知元段的电流密度j=qn v。圆柱内的载流子数为N=nSdl，故柱内所有载流子所受洛伦兹力的合力为

图12-19　磁场对电流元的作用力

由于dl是与电流密度j同向的矢量，故有Sjdl=Sjdl=Idl，代入式（12-25）可得

这就是电流元Idl所受安培力的表达式。任意载流导线所受的安培力可通过对式（12-26）积分求得。式（12-26）也叫作安培定律。

有限长载流导线所受的安培力，等于各电流元所受安培力的矢量叠加，即

式（12-27）说明，安培力是作用在整个载流导线上，而不是集中作用于一点上的。对载流金属导体（及半导体）所受安培力的各种实验测定都与通过积分求得的结果相吻合。

2.安培定律的应用

例12-6　如图12-20所示，一通有电流I的闭合回路放在磁感应强度为B的匀强磁场中，回路平面与磁感应强度B垂直的回路由直导线AB和半径为r的圆弧导线BCA组成，电流为顺时针方向，求磁场作用于闭合导线的力。

图12-20　例12-6图

解　整个回路所受的力为直导线AB和圆弧导线BCA所受力的矢量和，由安培力公式可知，直导线AB受到安培力的大小为方向沿Oy轴负方向。

在BCA上取一线元dl，作用在dl上的安培力为

dF2的方向沿半径方向向外，将其分解为dF2x和dF2y两个分量，根据对称性分析可知F2x=∫dF2x=0，故

因dl=rdθ，则

其方向沿Oy轴正方向。

从计算结果可知，磁场作用于直导线AB和圆弧导线BCA组成的闭合导线的力为零。

例12-7　求不规则的平面载流导线在匀强磁场中所受的力，已知B和I。

解　取如图12-21所示坐标系，导线一端在原点O，另一端在x轴的点P上，OP=L，取一段电流元Idl。作用在Idl上的安培力为

图12-21　例12-7图(www.xing528.com)

将该力分解为dF2x和dF2y两个分量，则有

而dlsinθ=dy，dlcosθ=dx，则对上面两式积分得

故F=Fy=BIL。

由上述结果可知：任意平面载流导线在匀强磁场中所受的力，与和其起点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同。另外，对于闭合的载流线圈，若线圈所在平面与磁场垂直，此闭合回路整体所受磁场力为零。

3.磁场作用于载流线圈的磁力矩

如图12-22所示，在匀强磁场B中，有一刚性矩形平面线圈，电流为I，我们以en代表与电流流向成右手螺旋关系的那个法向的单位矢量。下面讨论几种情况。

图12-22　矩形线圈在匀强磁场中受到的磁力矩

（1）如果磁场B与线圈平面垂直（即B与en平行），如图12-22（c）所示，则不难看出MN、OP边所受的安培力等值反向，合力及合力矩都为零。NO、PM边也类似，故线圈既不受力又不受力矩。

（2）如果磁场B与线圈平面平行（即B与en垂直），先看B与MN、OP边平行的简单情况，如图12-22（d）所示。这时由dF=Idl×B可知MN、OP边所受安培力为零，NO、PM边的安培力虽然合力为零，但构成一个力偶矩M，其方向竖直向下，大小为

其中l1和l2分别是矩形线圈的长和宽，S为矩形的面积，由于矢量en×B也竖直向下，便可写成矢量等式，即

定义矢量：

则合力矩为

m只取决于载流线圈自身的性质，正如电偶极子的电矩p只取决于电偶极子自身的性质那样，称m为载流线圈的磁矩。如果B与线圈的NO、PM边平行，显然仍得上述结论，即合力为零而合力矩为M=m×B。

（3）如果磁场B仍平行于线圈平面但与任一对边都不平行，则可作分解B=B1+B2，其中B1和B2分别与MN、OP边和NO、PM边平行，因为B1、B2对线圈提供的合力都为零，所以B提供的合力也为零，设B1、B2对线圈提供的力矩分别为M1、M2，则线圈所受到的总力矩为

（4）如果磁场B与线圈平面既不垂直也不平行，则可以把B分解为与线圈平面垂直和平行的两个分量，前者对力矩无贡献，后者贡献为M=m×B。

以上结论也可推广到任意形状的平面载流线圈，于是可得结论：载流矩形线圈在任意方向的匀强磁场中，所受到的磁力矩为M=m×B。

如果线圈有N匝，那么磁力矩为

则磁矩

上述结论虽然是从矩形线圈推导出来的，但它对任意形状的平面线圈都是适用的。