安培环路定理-大学物理教程

1.安培环路定理

在研究静电场时，我们曾从电场强度E的环流这一特性中知道静电场是一个保守力场，并由此引入电势这个物理量来描述静电场。对由恒定电流所激发的磁场，也可用磁感应强度沿任一闭合曲线的线积分（又称B的环流）来反映它的某些性质。由于磁感线总是闭合曲线，可以预期，B的环流可以不为零。和E的环流不同，B的环流不具有功的意义，但它的规律却揭示了磁场的一个重要特性。

下面通过长直载流导线周围磁场的特例具体计算磁感应强度B沿任一闭合路径的线积分。

如图12-10（a）所示，在通有电流I的无限长直导线产生的磁场中，取与导线垂直的平面上的以O为圆心，半径为R的圆形回路l，由例12-10结论可知，回路上任一点的磁感应强度B的大小均为B=μ0I/2πR。若选定圆周的绕向为逆时针，则圆周上每一点磁感应强度B的方向与dl的方向相同，即B与dl的夹角θ=0。这样磁感应强度B对闭合回路l的环流为

图12-10　安培环路定理

上式中积分回路的绕行方向与电流的流向成右手螺旋关系。若选定圆周的绕向为顺时针，则B与dl的夹角θ=π，不难得到

这时可以认为，对不与回路成右手螺旋关系的电流流向是负的。式（12-16）是从特例得出的。如果闭合回路l为任意闭合路径，如图12-10（b）所示，仍然有B与dl的夹角θ=0，则B对回路l的环流为

如果电流处在积分回路之外，如图12-11所示，可以根据B与dl的夹角θ为0或π，将闭合回路分为两部分，对同一张角dφ对应的dl1和dl2两个线元有

图12-11　电流在回路外

因此对整个闭合路径积分，可得到

通过以上讨论可知，B的环流，与闭合曲线的形状无关，也与闭合曲线外部的电流无关，只和闭合曲线内部所包围的电流有关，以上结果虽然是以长直导线的磁场为例导出的，但其结论具有普遍性，对任意几何形状的载流导线的磁场都是适用的，而且当闭合曲线包围多根载流导线时也是适用的。可以总结为：在真空的恒定磁场中，磁感应强度B沿任一闭合路径的积分（即B的环流）的值，等于μ0乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和，即

若电流流向与积分回路成右手螺旋关系，电流取正值，反之则取负值。这就是真空中磁场的环路定理，也称为安培环路定理。它表达了电流与它所激发磁场之间的普遍规律。由式（12-19）可以看出，不管闭合路径外面电流如何分布，只要闭合路径内没有包围电流，或者所包围电流的代数和等于零，总有∮lB·dl=0。但是，应当注意，B的环流为零一般并不意味着闭合路径上各点的磁感应强度都为零。

由安培环路定理还可以看出，由于磁场中B的环流一般不等于零，所以，恒定磁场的基本性质与静电场是不同的，静电场是保守场，磁场是涡旋场。用静电场中的高斯定理可以求得电荷对称分布时的电场强度，同样，我们可以应用恒定磁场中的安培环路定理来求某些具有对称性分布电流的磁感应强度。

2.安培环路定理的应用

例12-3　如图12-12（a）所示，均匀地绕在圆柱面上的螺旋形线圈称为螺线管。设螺线管半径为R，导线内电流为I，单位长度的线圈匝数为n，求无限长直密绕螺线管内磁感应强度B。

图12-12　例12-3图

（a）长直螺线管（为清晰而把密绕画成疏绕）；（b）长直螺线管内磁场

分析　由于无限长条件，不难证明过如图12-12（b）所示P点的任一直线上各点的磁感应强度有相同的大小，管内中央部分的磁场是均匀的，方向与螺线管轴线平行，管外侧的磁场沿着与轴线垂直的圆周方向，但与管内磁场比较很微弱，可以忽略不计。

解　对称性分析螺旋管内为匀强磁场，方向沿轴向，外部磁感应强度趋于零。(www.xing528.com)

为计算管内任一点P的磁感应强度，过P作一矩形回路abcda，则B沿此闭合回路的环流为

因为管外磁感应强度为零，故有

闭合回路abcda所包围的电流的代数和为，根据安培环路定理，得

故

综上所述，对管内任意一点有B=μ0n I，方向与螺线管轴线平行，与电流流向成右手螺旋关系。

例12-4　用一根长导线绕制成密集的环状螺旋线圈，称为螺绕环，环内为真空，如图12-13所示，设线圈匝数为N，线圈中电流为I，求螺旋环内的磁感应强度。

图12-13　例12-4图

（a）螺绕环；（b）螺绕环内的磁场

解　当线圈绕得相当密集时，环外的磁场很微弱，略去不计，可以认为磁场全部集中在螺绕环内部，此时，呈对称分布的电流使磁场也具有对称性，导致环内的磁感线形成同心圆，且在同一圆周上各点的磁感应强度B的大小相等，方向沿圆周的切向。由此可知，在环内作半径为R的圆形闭合路径，如图12-13（b）所示，闭合路径上各点的磁感应强度B大小都相等，且B的方向都和闭合路径相切。根据安培环路定理有

即可求得环内磁感应强度的大小为

例12-5　求图12-14（a）中无限长载流圆柱体的磁场。

分析　在例12-1中，我们用毕奥-萨伐尔定律计算了无限长载流直导线的磁场，当时认为通过导线的电流是线电流，而实际上，导线都有一定的半径，流过导线的电流是分布在整个截面内的。设在半径为R的圆柱形导体中，电流沿轴向流动，且电流在截面上的分布是均匀的。如果圆柱形导体很长，那么在导体的中部，磁场的分布可视为对称的。下面先用安培环路定理来求圆柱体外的磁感应强度。

图12-14　例12-5图

解　如图12-14（a）所示，以圆柱体轴线为中心，作半径为r的圆形回路，圆面与圆柱体中心轴垂直，截面图如图12-14（b）所示。由于对称性，回路上各点B的大小相等，方向沿圆的切线，根据安培环路定理，当r＞R时，有

得

当0＜r＜R时，有

得

由上述结果可得图12-14（c）中的曲线，它给出了B的值随r变化的情况，B的方向与电流成右手螺旋关系。