毕奥-萨伐尔定律：大学物理教程深入解析

1.毕奥-萨伐尔定律

在讨论任意带电体产生的电场时，曾把带电体分成许多电荷元dq，与此类似，在讨论任意形状的载流导线所产生的磁场时，也可以把它看作许多通有电流I的线元dl，将电流I与线元dl的乘积Idl称为电流元，知道了电流元Idl产生的磁场，再根据叠加原理便可求出任意形状的电流所产生的磁场。但是电流元与点电荷不同，它不能在实验中独立出现。以法国物理学家毕奥和萨伐尔的实验为基础，又由法国数学家拉普拉斯经过科学抽象，得到以下所述的毕奥-萨伐尔定律，给出了电流元所产生磁场的磁感应强度的计算方法。

如图12-4所示，在载流导线上任取一段电流元Idl，其在真空中某点P处产生的磁感应强度dB的大小，与电流元的大小Idl成正比，与电流元Idl到P点的位置矢量r间的夹角θ的正弦成正比，并与电流元到P点的距离r的二次方成反比，即

图12-4　毕奥-萨伐尔定律

dB的方向垂直于Idl和r所组成的平面，其指向满足右手螺旋定则。用矢量式表示为

式中，μ0为真空磁导率，在国际单位制中，其值为μ0=4π×10-7N·A-2；er为位置矢量r的单位矢量。由于er=r/r，式（12-11a）也可以写为

式（12-11）就是毕奥-萨伐尔定律。

于是，可知任意一段载流导线在空间中点P处产生的磁感应强度为

2.毕奥-萨伐尔定律的应用

例12-1　（载流长直导线的磁场）在真空中，一直导线CD中通以电流I，如图12-5所示，现求距离此导线为r0的点P处的磁感强度B。

图12-5　例12-1图

解　选取如图12-5所示的坐标系，其中Oy轴通过P点，Oz轴沿载流导线CD，任取电流元Idz，根据毕奥-萨伐尔定律，此电流元在P点所激发磁场的磁感应强度dB的大小为

方向沿x轴的负方向。从图中可以看出，直导线上各个电流元激发磁场的dB的方向都相同。因此点P处磁感应强度的大小就等于各个电流元激发磁场的磁感应强度之和，用积分表示，有

从图12-5可以看出z、r和θ之间有如下关系：z=-r0cotθ，r=r0/sinθ。

因此，dz=r0dθ/sin2θ，代入上式得(www.xing528.com)

所以，一段载流直导线激发磁场的磁感应强度为

B的方向沿x轴负方向。

讨论：（1）对于无限长载流直导线的磁场，θ1→0，θ2→π，则有

（2）对于半无限长载流直导线的磁场，，θ2→π，则有

例12-2　（圆形载流导线轴线上的磁场）在真空中，有一半径为R的圆形载流导线，通过的电流为I，如图12-6所示，求在垂直于圆面并通过圆心的轴线上任意点P处的磁感应强度。

图12-6　例12-2图

解　建立如图12-6所示坐标系，任取电流元Idl，由毕奥-萨伐尔定律可知，它在P点所激发磁场的磁感应强度为

由于dl与位置矢量r的单位矢量er垂直，所以dB的大小为

dB的方向垂直于电流元Idl与位置矢量r所组成的平面，设dB与Ox轴的夹角为α，将dB分解成两个分量：一是沿Ox轴的分量dBx=dB cosα；另一是垂直于Ox轴的分量dB⊥=dB sinα。考虑到圆上任一直径两端的电流元对Ox轴的对称性，dB⊥分量的总和为0，则有

由于cosα=R/r，对于给定点P来说，r、l和R都是常量，有

B的方向垂直于圆形导线平面沿Ox轴正向。

由此结论可知，（1）当x=0时，圆心点O处的磁感应强度B的大小为

（2）当x≫R时，即场点P在远离原点O的Ox轴上，则有