大学物理教程：电介质下的高斯定理和电位移

上一章我们研究了真空中静电场的高斯定理。而当静电场中有电介质时，高斯面内不止有自由电荷，还会有极化电荷，那么高斯定理会有怎么样的变化呢？下面将讨论有电介质时的高斯定理。

仍以两平行带电平板间充满均匀电介质为例来进行讨论。如图11-11所示，取一闭合的正圆柱体作为高斯面，高斯面的两底面与极板平行，其中一个底面在电介质内，底面的面积为S。设极板上的自由电荷面密度为σ0，电介质表面上的极化电荷面密度为σ′，对此高斯面来说，由高斯定理有

式中，Q0=σ0S；Q′=σ′S。

图11-11　有电介质时的高斯定理

我们不希望在式（11-13）中出现极化电荷，由式（11-11b）可知Q0-Q′=Q0/εr，把它代入式（11-13）有

或

令

其中ε0εr=ε为电介质的电容率，那么式（11-14a）可以写成

式中，D称为电位移，∮SD·dS则是通过任意闭合曲面S的电位移通量，D的单位为C·m-2。

式（11-14b）虽然是从两平行带电平板间充有均匀电介质的情形得出的，但是可以证明一般情况下它也是正确的。所以，有电介质时的高斯定理可以叙述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和，其数学表达式为

下面简述一下电介质中电场强度、电极化强度和电位移之间的关系。从电位移和电场强度的关系(www.xing528.com)

以及

可得

由上式可知，D是考虑了电介质极化后，用来简化对电场规律的表述的。

例11-3　图11-12是由半径为R1的长直圆柱导体和同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成的，其间充以相对电容率为εr的电介质。设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为+λ和-λ。求：（1）电介质中的电场强度、电位移和电极化强度；（2）电介质内外表面的极化电荷面密度。

图11-12　例11-3图

解　（1）由于电荷分布是均匀对称的，所以电介质中的电场也是柱对称的，电场强度的方向沿柱面的矢径方向。作一与圆柱导体同轴的圆柱形高斯面，其半径为r（R1＜r＜R2）、长为l。因为电介质中的电位移D与圆柱形高斯面的两底面的法线垂直，所以通过这两底面的电位移通量为零。根据有电介质时的高斯定理，有

由于E=D/ε0εr，得电介质中的电场强度为

电介质中的电极化强度为

由式（2）可知电介质两表面处的电场强度分别为

所以，电介质两表面极化电荷面密度的值分别为