电势差和电场力的功-大学物理教程

本节研究电荷在电场中移动时电场力做的功以及电场能量和电势。

1.电场力的功

在点电荷q的电场中，试验电荷q0从点a经任意路径acb移动到点b时，电场力对电荷q0将做功。

如图10-16所示，在路径中任一点c附近取一元位移dl，q0在dl上受的电场力F=q0E，F与dl的夹角为θ。则电场力在dl上对q0做功为

图10-16　非均强电场中电场力所做的功

因为cosθdl=dr为位矢模的增量。所以

当q0从点a移动到点b时，电场力做功为

式中，ra、rb分别表示路径的起点和终点离点电荷的距离，可见，在点电荷q的电场中，电场力对q0做的功只取决于移动路径起点a和终点b的位置，而与路径无关。

上述结论可以推广到任意带电体的电场，任何一个带电体可以看成是许多点电荷的集合，总电场E等于各点电荷电场强度的矢量和。既然对每一个点电荷电场都有静电力做功与路径无关的结论，那么对任何带电体所产生的静电场来说，必然也有同样的结论：即试验电荷在任一静电场中移动时，静电力所做的功只与电场的性质、试验电荷的电量大小及路径起点和终点位置有关，而与路径无关。这说明静电场力是保守力，静电场是保守场。

2.静电场的环路定理

静电场力做功与路径无关的特性还可以用另一种形式来表达。如图10-17所示，设试验电荷q0从电场中a点经任意路径acb到达b点，再从b点经另一路径bda回到a点，则电场力在整个闭合路径acbda上做功为

图10-17　q0沿闭合路径移动一周电场力做功为零

由于q0≠0，所以

式（10-19）左边是电场强度E沿闭合路径的积分，称为静电场强度E的环流。它表明在静电场中，电场强度E的环流恒等于零，这一结论称为静电场的环流定理，也称为环路定理，它是静电场为保守场的数学表述。由于这一性质，我们才能引进电势能和电势的概念。

3.电势能

在力学中已经指出，任何保守力场都可以引入势能概念，静电场是保守力场，相应地可以引入电势能的概念，即认为试验电荷q0在静电场中某位置具有一定的电势能，用Ep表示。当试验电荷q0从电场中的a点移动到b点时，电场力对它做功等于相应电势能增量的负值，即

式中，Epa、Epb是试验电荷在a点和b点的电势能。若电场力做正功，即Wab＞0，则Epa＞Epb，电势能减少；若电场力做负功，即Wab＜0，则Epa＜Epb，电势能增大。

与其他形式的势能一样，电势能也是相对量。只有先选定一个电势能为零的参考点，才能确定电荷在某一点的电势能的量值。电势能零点可以任意选取，如选取电荷在b点的电势能为零，即选定Epb=0，则由式（10-20）可得a点电势能为

这表明，试验电荷q0在电场中某点的电势能，等于把它从该点移到势能为零处静电场力所做的功。

在国际单位制中，电势能的单位是焦耳，符号为J。

4.电势和电势差

式（10-21）表示的电势能Epa、Epb不仅与电场性质及a或b点位置有关，而且还与电荷q0有关，而比值则与q0无关，仅由电场性质和a或b点的位置决定。因此，是描述电场中a或b点电场性质的一个物理量，称为a或b点的电势，用Va、Vb表示，即

从式（10-22）可以看出，要确定a点电势，不仅要知道将单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电场力所做的功，还要知道b点的电势，所以b点的电势常称为参考电势。原则上参考电势可取任意值，但为方便起见，对电荷分布在有限空间的情况来说，通常取点b在无穷远处，并令无穷远处电势能和电势为零，即Epb=0，Vb=0。于是，电场中点a的电势为

式（10-23）表明，电场中某一点a的电势Va，在数值上等于把单位正电荷从a点沿任意路径移动到无穷远处时，静电场力所做的功。

电势是标量。在国际单位制中，电势的单位是伏特，符号为V。

静电场中任意两点a和b电势之差称为a、b两点的电势差，也称为电压，用Uab表示，即

式（10-24）表明，静电场中a、b两点的电势差等于把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时，静电场力所做的功。据此，当任一电荷q0从a点移到b点时，电场力做功为

5.电势的计算

1）点电荷电场的电势

在点电荷电场中，电场强度为

根据电势定义式（10-23），在选取无穷远处为电势零点时，电场中任一点P的电势为

2）电势叠加原理

如图10-18所示，真空中有一点电荷系，各电荷分别为q1，q2，…，qn，其中有的是正电荷，有的是负电荷，这个点电荷系所激发的电场中某点的电势如何计算呢？

图10-18　电势叠加原理图

从电场强度叠加原理我们知道，点电荷系的电场中某点的电场强度E，等于各个点电荷独立存在时在该点建立的电场强度的矢量和，即

于是，根据式（10-23），可得点电荷系电场中点A的电势为

式中，V1，V2，…，Vn分别为点电荷q1，q2，…，qn独立激发的电场中点A的电势。由点电荷电势的计算式（10-26），上式可写成

式（10-27）表明，点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷简单独存在时在该点建立的电势的代数和。这一结论叫作静电场的电势叠加原理。

若场源为电荷连续分布的带电体时，则可把它看成无限多个电荷元dq所组成，每个电荷元所产生的电势为(www.xing528.com)

式中，r为电荷元dq到场点的距离。根据电势叠加原理，整个带电体所产生的电势为

经上述讨论，总结出在真空中计算电势的两种方法：

（1）利用电势定义式（10-22）计算，该方法应注意参考点B的电势的选取，只有电荷分布在有限空间里才能选点B在无穷远处，且令其电势为零；还应注意积分路径的选取，确保积分路径上E的函数式是已知的。

（2）利用点电荷电势叠加原理式（10-28）计算。

例10-7　正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上，如图10-19（a）所示。求环轴线上距环心为x处的点P的电势。

图10-19　带电细圆环轴线上的电势分布

解　设细圆环的电荷线密度为λ，由题已知条件可知，取电荷元为dq，dq=，则由式（10-28），得点P的电势为

讨论1：当点P位于环心O时，x=0，有

讨论2：当x≫R时，有

对比讨论2的结果和式（10-26）可知，圆环轴线上足够远处某点的电势等于将电荷量集中于环心处的一个点电荷在该点产生的电势。带电细圆环轴线上的电势分布如图10-19（b）所示。

例10-8　求真空中均匀带电球面其电场电势的分布。设球面半径为R，电荷量为Q。

解　电荷量是均匀分布在球面上的，所以选取无穷远处为电势零点；从例10-5知，由高斯定理可求得均匀带电球面的电场强度分布为

由此，可根据电势定义法计算。球外电场强度沿着球半径方向，所以球面外任意点A的电势为

可见，均匀带电球面外任一点的电势与电荷量集中在球心的点电荷在该点的电势相同。

由于球面内、外场强分布规律不同。所以计算球面内任意点B的电势，积分要分两段进行，即

可见，均匀带电球面内各场点电势相等，都等于球面上各点的电势。

均匀带电球面电势分布如图10-20所示。

图10-20　带电球面的电势分布

6.等势面

前面，我们曾用电场线来形象地描绘电场中电场强度的分布。这里，我们将用等势面来形象地描绘电场中电势的分布，并指出两者的联系。

电场中电势相等的点所构成的面，叫作等势面。当电荷q沿等势面运动时，电场力对电荷不做功，即q E·dl=0，由于q、E、dl均不为零，故上式成立的条件是：E必须与dl垂直，即某点的电场强度与通过该点的等势面垂直。

前面曾用电场线的疏密程度来表示电场的强弱，这里我们也可以用等势面的疏密程度来表示电场的强弱，为此，对等势面的疏密作这样的规定：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差都相等。根据这样的规定，图10-21给出了一些典型电场的等势面和电场线的图形。图中实线代表电场线，虚线代表等势面。从图可以看出，等势面愈密的地方，电场强度也愈大，这一点将在下面证明。

图10-21　电场线与等势面

在实际应用中，由于电势差易于测量所以常常是先测出电场中等电势的各点，并把这些点连起来，画出电场的等势面，再根据某点的电场强度与通过该点的等势面相垂直的特点而画出电场线，从而对电场有定性的直观了解。

7.电势梯度

根据式（10-23），我们知道电场强度和电势存在一定关系，通过这个关系可以由电场强度的分布求得电势分布。前面我们已经说过，在实际问题中往往需要由测得的电势分布情况去估计电场强度的分布情况。因此，下面我们将学习如何由电势分布去求电场强度分布的情况。

一个在电场中缓慢移动的电荷，电场力若做正功，该电荷的电势能必定降低；若做负功，该电荷的电势能必定升高。如图10-22所示，在静电场E中有两个靠得很近的等势面Ⅰ和Ⅱ，它们电势分别V为V+dV，在等势面上分别取两点A和B。现有一试探电荷q0由A点移动到B点，相应的位移记为dl，由于dl很小，因此在dl的范围内可以认为电场强度是不变的，则电场力所做的功为

图10-22　电场强度与电势的关系

这就是电势的微分表达式。

由于电势是空间坐标的函数，所以在直角坐标系中，其全微分dV可以写作

则有

即

引入哈密顿算符：

则上式可表示为

式中，V是矢量，称为电势梯度，即电场强度矢量是电势的负梯度。

例10-9　用电场强度与电势的关系，求均匀带电细圆环轴线上一点的电场强度。

解　在例10-7中，我们已求得在x轴上点P的电势为

式中，R为圆环半径；q为圆环所带电荷量。由式（10-30）可得P点的电场强度为