大学物理教程中的光栅衍射和光栅公式简介

对于单缝衍射条纹，若缝较宽，则明纹亮度较强，但条纹间隔很窄；若缝较窄，虽然条纹间隔变宽了，但光强度会减弱。进行波长的测量和分析时，为了测量的准确，则要求衍射条纹必须分得开，条纹既窄又明亮。实际上测定光波波长时不是使用单缝，而是采用能满足上述测量要求的衍射光栅。

1.衍射光栅

由许多等宽的狭缝等距离地排列起来形成的光学元件叫衍射光栅，用于透射光衍射的叫透射光栅，用于反射光衍射的叫反射光栅。广义而言具有周期性的空间结构或光学性能的衍射装置都可称为光栅。

我们在玻璃片上刻画出N个等间距、等宽度的直线，刻痕处相当于毛玻璃成为光栅不透明部分，两划痕之间透光部分成为光栅的狭缝，设不透光部分的宽度为b，缝的宽度为a。相邻两狭缝间的距离d=a+b，称为光栅常数。近代光栅每毫米上刻有上千条细痕，总共有上万条刻痕，这种光栅是相当精密的光学元件。

图7-18为透射式平面衍射光栅实验的示意图，当一束平行单色光波入射到光栅上，每个狭缝都要产生衍射，经光栅衍射的光波通过透镜L2的会聚作用，在置于L2后焦平面的观察屏E上，形成光栅衍射图样。这些衍射条纹的特点：明条纹很亮很窄，相邻明条纹之间的暗条纹很宽，衍射图样十分清晰。

2.光栅公式

下面简单讨论一下，在屏上某处出现光栅衍射明条纹所满足的条件。

图7-18　光栅衍射

如图7-18所示，任取相邻狭缝，对应点沿θ方向发出的衍射光会被透镜会聚于一点P，它们的光程差为dsinθ。根据干涉原理，当此值恰好是入射光波长的整数倍时，则两衍射光在P点干涉加强。此时其他任意两缝沿该衍射角θ方向射出的两衍射光到达P点处的光程差也一定是λ的整数倍，它们的干涉效果也都是互相加强的，于是所有各缝沿该衍射角θ方向射出的光在屏上会聚时形成明条纹。因此，光栅衍射的明条纹的位置条件为

式（7-26）称为光栅公式，k为明条纹级数。这些明条纹细窄而明亮，通常称为主极大条纹，k=0为零级主极大；k=1为第一级主极大，其余以此类推。正、负号表示各级主极大对称分布在零级主极大两侧。

对光栅中每一条透光缝，由于衍射，都将在屏幕上呈现衍射图样，而由于各缝发出的衍射光都是相干光，所以缝与缝之间透过的光又要发生干涉，因此，光栅的衍射条纹是衍射和干涉的总效果。由于每个狭缝产生的衍射极大的位置相同，所以随着狭缝的增多，明条纹的亮度将增大，而且实验表明，缝数增加时明条纹也变细了。由于从各缝发来的光总有许多缝的光干涉相消，在两个主极大之间也还有总光强为零的位置。

还应当指出，由于单缝衍射的光强分布在某些θ值时可能为零，所以，如果对应这些θ值按多光束干涉出现某些主极大时，这些主极大将消失，这种现象叫缺级现象，所缺的级次由光栅常数d和缝宽a的比值决定。θ除满足式（7-26）之外，同时满足方程：

时，由于各个狭缝所发出的光波各自满足暗纹的条件，当然也就无缘谈及缝与缝之间的干涉加强作用了。所以虽然按式（7-26）应该出现明纹，而实际上都并不出现。因此产生缺级现象时明条纹的级数k与单缝衍射暗条纹的级数k′之间的关系为

例7-5　波长为600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二级主极大出现在sinθ=0.20处，第四级缺级。试问：（1）光栅上相邻两缝的间距是多少？（2）光栅上狭缝的宽度有多大？（3）在-90°＜θ＜90°范围内，实际呈现的全部级数。

解　（1）由题已知k=2时，sinθ=0.20，则由分析可得光栅常数：

（2）由缺级条件，得=m，k=mk′，即mk′级明纹缺级。(www.xing528.com)

由题意k=4缺级，即

当k′=1时，m=4，b=1.5μm，即±4，±8，±12，…级缺级。（符合题意）

当k′=2时，m=2，第±2，±4，±6，…级缺级。（第二级已存在，不符合题意，舍去）

当k′=3时，m=，b=4.5μm，第±4，±8，±12，…级缺级。（符合题意）

当k′=4时，m=1，第±1，±2，±3，±4，…级缺级。（不符合题意，舍去）

因此，狭缝宽度b为1.5μm或者4.5μm，而缺级只发生在±4，±8，±12，…级。

（3）由光栅公式dsinθ=±kλ（k=0，1，2，…），可知屏上呈现条纹最高级次应满足k＜d/λ=10，故考虑到缺级，实际屏上呈现的级数为：0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，共15条。

∗3.光栅光谱和光栅光谱仪

由光栅公式可知，光栅常数d一定时，衍射角θ的大小和入射光波的波长有关，波长越长，衍射角越大，相应的各级衍射条纹距离中央零级主极大越远。因此白光通过光栅后除零级主极大外各种波长的光的各级主极大的位置不同，它们将形成各自的衍射图样，如果用线光源照射衍射图样就是不同颜色的亮线，称为光谱线（简称谱线）。各种波长的同一级谱线组成一个彩色光带，这些光带的整体称为光栅光谱或衍射光谱。

如图7-19所示，中央明纹（或称零级明纹）显然仍为白色条纹，其他各级谱线按波长的长短依次排列。在同一级谱线组成的光带中，波长较短的紫光（图中以V表示）靠近中央明纹；波长较长的红光（图中以R表示）则远离中央明纹。各级谱线对称分布于中央明纹两侧，它们分别称为第一级光谱，第二级光谱，…。由于谱线间的距离随光谱的级数增加而增加，所以高级数的光谱彼此有可能重叠。

图7-19　各级衍射光谱

不同物质的发射光谱和吸收光谱是研究物质结构的依据，测定物质的光栅光谱中各谱线的波长和相对强度，便可以确定该发光（吸收光）物质的成分和含量。这种分析方法叫作光谱分析，它在科学技术中有着广泛的应用。

凡是能够将复色光按不同波长分成光谱的光学仪器都称为光谱仪。用光栅作分光元件的就叫光栅光谱仪，其示意图如图7-20所示。

图7-20　光栅光谱仪示意图

从光源S发出的光经过狭缝S1进入平行光管C，由C发出的平行光垂直入射到光栅G上，在光栅后面用望远镜T观察光谱。望远镜T在图中所示的平面内绕点O可以转动，借以观察不同方向上的各级光谱。对应于某一级光谱线的衍射角θ可以精确地由刻度盘读出。根据光栅公式就可以算出未知的波长，这种装置叫分光计。如果在望远镜上有照相设备，还可以摄取光栅光谱，就构成了光栅摄谱仪。