夫琅禾费单缝衍射–大学物理教程

图7-15所示是夫琅禾费单缝衍射（单键衍射）实验装置。在衍射屏K上开有一宽度为a的细长狭缝，单色光源S发出的光经透镜L1后变为平行光，入射到衍射屏上，经过狭缝后产生衍射，再经过透镜L2聚焦在焦平面的处的观察屏E上，呈现出一系列平行狭缝的衍射条纹。

图7-15　夫琅禾费单缝衍射

现在我们用半波带法来解释夫琅禾费单缝衍射图样。

利用式（7-22）处理次级波相干叠加，要求对波面作无限分割。半波带法是以比较粗糙的有限分割代替无限分割，有关积分的运算化为有限项的求和。半波带法虽然不够精细，但可方便地得到衍射图样的基本定性特征。

如图7-16（a）所示，单色平行光垂直入射到K的缝平面AB上，波面AB上的每一点都发射沿各方向传播的光波，称为衍射光波。沿某一方向的衍射光与狭缝平面法线的夹角θ称为衍射角。通过点A作平面AC，使其与BC垂直，由于透镜不产生附加光程差，则单缝边缘两点A、B沿θ方向的衍射光，传到点P的光程差为

图7-16　单缝衍射条纹的计算

设BC恰好等于入射单色光半波长的整数倍，即

这相当于把BC分成m等份，作彼此相距的平行于AC的平面，这些平面把波面AB切割成了m个波带。如图7-16（b）所示，每一窄条带的宽度为

这些窄条带称为半波带。相邻两半波带上的点都是一一对应的，如A1A2带上的点G1和A2B带上的点G2，对应点上发出的沿θ方向的衍射光，到达点P时光程差都为，即两者在点P引起的光振动的相位差为π。由于所有半波带的面积都相等，所以各个半波带在点P引起的光振动的振幅相等。因此任何两个相邻的半波带所发射的光波，在点P叠加将完全相互抵消。

如果整个缝平面对于给定的衍射角θ可以分成偶数（2k）个半波带，则每对相邻的半波带在点P引起的光振动相互抵消，屏E上将出现暗纹，即产生暗纹的条件为

如果整个缝平面对于某给定的衍射角θ可以分成奇数（2k+1）个半波带，则每对相邻的半波带在P点引起的光振动未被抵消，屏E上将呈现明纹，即产生明纹的条件为

当衍射角θ=0时，则

表明平行光束无光程差，故会聚于点P0，则点P0干涉加强，该点位于中央明纹中心。综上所述，当平行单色光垂直入射时，单缝衍射明、暗条纹的条件为(www.xing528.com)

式中，k为级数，正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹两侧。另外此与杨氏干涉条纹的条件，在形式上恰好相反，切勿混淆。

应该指出对于任意衍射角θ来说，AB不能分成恰好整数个半波带，即BC不一定等于的整数倍，对应于这些衍射角的衍射光束经透镜汇聚后，在屏E上的光强介于最明和最暗之间。因此在单缝衍射条纹中，强度分布不是均匀的。图7-17给出了单缝衍射图样的强度分布曲线。

图7-17　单缝衍射的强度分布曲线

如图7-17所示，中央明纹最亮，条纹也最宽，约为其他条纹宽度的两倍，第一级暗纹中心的间距在a sinθ=-λ和a sinθ=λ之间。当θ很小时，中央明纹的角宽度（条纹对透镜中心所张的角度）为2Δθ=，有时也用半角宽度描述，即

这一关系称衍射的反比律，以f表示透镜的焦距，则在屏幕观察到的中央明纹的线宽度为

虽然其他明纹的角宽度均相等且等于中央明纹的半角宽度，即式（7-25）也表示各次级明纹的角宽度，其线宽度为。中央明纹不仅最亮（强度最大），而且衍射斑纹也最宽，它的半角宽度Δθ的大小作为衍射效应强弱的标志。在单缝宽度给定的条件下，半角宽度Δθ与波长成正比。用单色光照射时，波长越长，衍射效应越显著；波长越短，衍射效应变得越不明显。在极限情况λ→0时，衍射效应可完全忽略。这再一次说明几何光学是短波的极限。

用复色光照射时，由式（7-25）可知，波长不同的单色光的半角宽度不同，其同级的各次级明纹不会重叠在一起。如采用白光照射，除中央明纹为白色明纹外，在其两侧各种单色光按波长自短而长，依次由近到远排成对称的彩色图样。紫色光靠近中央明纹，而红色光则离开中央明纹最远，这种由衍射所产生的彩色图样，称为衍射光谱。

例7-4　在夫琅禾费单缝衍射实验中，缝的宽度b=0.40 mm，以波长λ=589 nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f=1.0 m。求：（1）第一级暗纹距中心的距离；（2）第二级明纹距中心的距离。

解　（1）由单缝衍射的暗纹条件b sinφ1=kλ，得φ1≈sinφ1=，则第一级（k=1）暗纹距中心的距离为

（2）由明纹条件b sinφ2=（2k+1），得φ2≈sinφ2=（2k+1），则第二级（k=2）明纹距中心的距离为

在上述计算中，由于k取值较小，即φ较小，故φ≈sinφ≈tanφ。如k取值较大，则应严格计算。