大学物理教程中的薄膜干涉现象及分析

上节讨论的均为分波阵面干涉，这类干涉要得到清晰的条纹必须采用宽度很小的光源，但这在实际应用中不能满足对条纹亮度的要求（激光有亮度大、相干性好的特点，是一种例外）。而分振幅干涉可使用扩展光源，可获得强度较大的干涉效应，因此，这类干涉广泛应用于干涉计量技术中，很多重要的干涉仪，都是以此类干涉为基础。

薄膜干涉是通过分振幅法获取相干光源，是常见的光的干涉现象，如肥皂泡和水面上的油膜在太阳光的照射下，呈现出美丽的彩色，就是薄膜干涉现象。类似的现象出现在照相机的镜头、眼镜镜片的镀膜层上，劈尖和牛顿环等装置呈现出来的也是薄膜干涉条纹。下面我们来讨论薄膜干涉的基本原理。

1.薄膜干涉

我们先来讨论光线入射在厚度均匀的薄膜上产生的干涉现象。设有一透明薄膜MN，如图7-6所示，薄膜的两个表面近似平行，其厚度为d，折射率为n2，膜的两边为折射率为n1的介质，且n2＞n1，薄膜干涉使用单色扩展光源，从面光源上的一点S发出的单色光，以入射角i入射到薄膜上的点A处，这时光线将分为两部分，一部分就在点A被反射，反射光线为a。大部分以折射角γ折射入薄膜内，其中一部分在下表面点C反射回到点B，然后进入折射率为n1的介质的为光线b，其余部分由下表面进入折射率为n1的介质，在薄膜内的点B处也有一部分光反射，由于经过两次反射的光大大减弱可以忽略不计，光线a、b出自光源的同一点S，是相干光，当用透镜把它们会聚在点P上时，就会产生干涉。

图7-6　薄膜干涉

现在我们用光程差的概念来分析薄膜干涉的加强和减弱条件。光线a所经历的路程为SAP，光线b所经历的路程为SACBP。在图7-6上通过点B作垂直于a和b的光线BD。从图中看出，SA段是a、b两光线共同经历的路程，而由于通过透镜不附加光程差，设点P为主焦点，则DP段和BP段的光程是相等的。所以a、b两光线的光程差为

其中，是由于光线入射到薄膜MN上时，在上表面反射有半波损失。从图7-7可以看出：

根据折射定律：n1sin i=n2sinγ，可得

将此AD值及式（7-13）中AC和CB的值代入式（7-12）整理后得

于是决定a和b两反射线会聚点P的明、暗干涉条件为

由式（7-15）看出，在厚度一定、折射率n2及周边介质都确定的情况下，光程差是随入射光的倾角（入射角i）而改变的。即对于厚度d均匀的薄膜，具有相同倾角的各光线光程差相同，显然，这些光线的干涉情况相同，同时增强（或减弱），这就是等倾干涉。等倾干涉形成的条纹叫作等倾干涉条纹。

同理，在透射光中也有干涉现象。图7-6中光线a′是由点C直接透射到介质n1中的；而光线b′是在点A折射入薄膜内，在点C和点B处经两次连续反射后，再从点E透射到介质n1中的。这两次反射都在光密介质入射到光疏介质界面上发生，因而不存在半波损失。所以，两束透射的相干光的光程差为

与式（7-13）比较可知，当反射光相互增强时，透射光相互减弱；当反射光相互干涉减弱时，透射光相互干涉将增强。

2.劈尖干涉

前面讨论了厚度均匀的薄膜干涉现象，如果平行光束入射到不均匀的薄膜上，所产生的干涉将不再是等倾干涉现象。这种情况下，当光线垂直入射时，在薄膜厚度相同的地方，干涉情况相同，我们会观测到等厚干涉条纹。常见的有劈尖干涉和牛顿环。

在两块相叠合的平板玻璃之间，在其一端垫入纸片或一细丝，如图7-7（a）所示。在两玻璃之间形成一端薄一端厚的劈尖形空气薄膜，称为空气劈尖。两平板玻璃的交线称为棱边，在平行于棱边的线上，对应的空气厚度是相等的。当平行单色光垂直照射平板玻璃时，就可在劈尖表面观察到明暗相间的干涉条纹。这是由空气薄膜的上下表面反射出来的两列光波叠加干涉而成的。下面来定量讨论劈尖干涉条纹形成的原理。

图7-7　劈尖的干涉

如图7-7（a）所示，两平板玻璃的夹角θ很小（为显示清楚，图中θ被夸大了），所以在劈尖上下表面反射的光线都可看作垂直于劈尖表面，且满足相干条件，因此在劈尖表面相遇时相干叠加。设劈尖在点C处的厚度为d，当光线a、b在劈尖表面反射，形成两相干光线a1、b1之间的光程差为

其中，是由于半波损失引起的附加光程差；对空气劈尖有n2=1。代入数据后，得到a1、b1这两条光线的反射光的干涉条件为

由式（7-16）可知，光程差仅取决于劈尖的厚度，厚度d相同的地方满足相同的干涉条件，干涉结果相同，即厚度相等的地方干涉条纹的亮度相同，我们把这种干涉现象，称为等厚干涉，这些条纹称为等厚干涉条纹。等厚干涉条纹可用透镜或眼睛聚焦在劈尖的表面上观察到。

在劈尖中，如果平板玻璃的表面是严格的几何平面，则平行于棱边的直线上各点，空气薄膜的厚度都相等，因此，劈尖干涉条纹是一系列平行于劈尖棱边的明暗相间的直条纹，如图7-7（b）所示。图中实线表示暗条纹（简称暗纹），虚线表示明条纹（简称明纹）。如果平板玻璃表面不平整，则干涉条纹将在凹凸不平处发生弯曲，由此我们可以检验平板玻璃表面是否平整。

在劈尖干涉的直条纹中，任意两相邻明纹或暗纹之间的距离l都是相同的，所对应的空气厚度之差为(www.xing528.com)

显然劈尖夹角θ越小，干涉条纹越稀疏；而θ越大干涉条纹越稠密。如果劈尖的夹角θ相当大，干涉条纹将无法分辨。干涉条纹只有在很薄的劈尖上才能看到。

由式（7-17）可知，如果已知劈尖的夹角θ，测出干涉条纹，就可以计算出单色光的波长；如果已知单色光的波长，就可以计算出微小的角度θ。

工程技术上常利用式（7-17）测定细丝的直径或薄片的厚度及检测加工平面的质量。

3.牛顿环

等厚干涉的另一个特例是牛顿环。如图7-8（a）所示，牛顿环仪器是由一块平板玻璃上，放置一曲率半径R很大的凸透镜所构成的。在凸透镜的凸表面与平板玻璃的平面间，形成一个上表面为球面、下表面为平面的空气薄膜，在以两表面接触点为中心的圆周上空气层的厚度相等。所以，当单色平行光垂直射向凸透镜时，凸透镜下表面所反射的光和平板玻璃上表面反射的光发生干涉，将呈现干涉条纹。干涉条纹的形状是以接触点O为中心的许多同心环，称为牛顿环，如图7-9所示。牛顿环的明、暗干涉环纹处的空气层厚度为d，则干涉条件为

从图7-8（b）看出，距离接触点为r处，空气层厚度d满足关系式：

图7-8　牛顿环

（a）牛顿环仪器简图；（b）牛顿环半径计算用图

图7-9　牛顿环干涉环纹

因凸透镜与平板玻璃间空气层极薄，则有R≫d，d2≪2Rd，略去d2由上式可得

式（7-19）表明，某环纹所在处，空气层的厚度与该处离开接触点O的距离r平方成正比。所以，距接触点O越远，光程差增加的越快，环纹也变得越来越密。在接触点O处，d=0，两反射光的光程差为，因而牛顿环的中心是暗斑点。

把式（7-19）代入式（7-18），求得反射光中的明环和暗环的半径分别为：

上述劈尖干涉和牛顿环的干涉图样，都是在薄膜反射光中看到的。在透射光中，同样也可以看到干涉图样。但透射光干涉图样的明暗纹的位置与反射光的恰好相反，即在劈尖干涉中，棱边处是明条纹，而在牛顿环中接触点是亮点。

例7-2　在工程上常用劈尖干涉来测量细丝的直径或薄片的厚度等，如图7-10所示，把金属丝夹在两块平板玻璃之间，形成空气劈尖，金属丝和棱边间距为D=30 mm。在λ=600 nm的单色光垂直照射下，测得两相邻明条纹之间的距离l=0.15 mm。求金属丝的直径。

图7-10　例7-2图

解　由图可知金属丝直径为

其中，θ为劈尖夹角。由式（7-17）知l sinθ=，因为θ很小，tanθ≈sinθ=。则得金属丝直径为

例7-3　用钠光灯发出的黄光作单色光做牛顿环实验，测得第k个暗环的直径为5.63mm，第k+10个暗环的直径为7.96 mm，已知黄光的波长λ=589.3 nm，求所用凸透镜的曲率半径和k值。

解　根据牛顿环的暗环公式，得

由以上两式得

将有关数据代入上式，计算得