平面简谐波的传播规律

1.平面简谐波的波函数

机械波是机械振动在大量质点参与的弹性介质中的传播，通常来讲介质中各个质点的振动情况是很复杂的，由此产生的波动也很复杂。如果波源作简谐振动，介质也不吸收能量，介质中的各质点也作简谐振动，这样的波叫简谐波。在平面简谐波中，波线是一组垂直于波面的平行射线，因此可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。我们所需要研究的平面简谐波的波动表达式，就是任一波线上任一点振动方程，即这列平面简谐波的波动方程。

下面先讨论沿x轴正方向传播的平面简谐波，设波速为u，在均匀无吸收的介质中传播，x轴即为一条波线，在波线上任选一点O作为坐标系的原点，如图6-2所示，设原点O处质点的振动方程为

图6-2　沿x轴正方向传播的平面简谐波

式（6-1）中y是质点在t时刻离开平衡位置的位移。设点P为x轴上任一点，其坐标为x，现求点P处质点在任一时刻t的位移。由于振动是由原点O传播到点P，所以点P处质点的振动是落后于原点O的，落后的时间就等于，点P在t时刻将重复原点O在时的运动状态，即点P在t时刻的振动方程为

式（6-2）就是沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程，有时也称为波动表达式或波函数。

如果平面简谐波沿x轴负方向传播，则点P的振动比原点O超前时间，点P在t时刻将重复原点O在时的运动状态，此时点P的振动方程为

式（6-3）是沿x轴负方向传播的平面简谐波的波动方程。考虑到速度反向，只需要将式（6-2）中的u改写为-u就可以得到沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程，即式（6-3）。

因此，平面简谐波波动方程的一般形式为

又因为，故波动方程通常还可得到如下几种表达式：

2.波动方程的物理意义

下面进一步谈论波动方程的物理意义，以沿x轴正方向传播的平面简谐波为例。

（1）如果x=x0，即x一定，则位移y只是时间t的函数，此时波动方程表示x0处质点在不同时刻的位移。其振动曲线如图6-3所示，则其振动方程为

式（6-8）中是质点振动的初相，其中，表示x0处质点落后于原点O处质点的相位，x0越大，则相位落后越多，因此波线上各点的振动相位依次落后。若x0=λ，2λ，3λ，…，则有φ′=φ-2π，φ-4π，φ-6π，…，这表明波线上每隔一个波长的距离，质点的振动情况就重复一次，波长表征了波的空间周期性。

同时也可以得出同一质点在相邻两个时刻的振动相位差为

式（6-9）表征了波的时间周期性。

图6-3　波线上给定点的振动曲线

（2）如果t=t0，即t一定，则位移y只是x的函数，此时波动方程表示t0时刻波线上各个质点离开各自平衡位置的位移情况，即

式（6-10）称为t0时刻的波形方程，作出t0时刻y-x曲线，如图6-4所示，该曲线称为t0时刻的波形曲线（波形图）。值得注意的是，t0时刻横波的y-x曲线相当于t0时刻所拍的波形“照片”，t0时刻纵波的y-x曲线只是该时刻所有质点的位移分布。

图6-4　给定时刻（t=t0）的波形曲线

同一波线上两个质点之间的相位差为

其中，x2-x1叫作波程差。上式表示同一时刻波线上任意两点间相位差与波程差的关系。

（3）如果x、t都在变化，则波动方程为(www.xing528.com)

式（6-11）表示波线上各质点在不同时刻的位移分布情况，图6-5分别画出了t时刻和t0时刻的波形图，可以看出波在Δt时间内传播了Δx距离，也即波在t时刻x处的相位，经过Δt时间传播到了x+Δx处，反映了波形不断向前推进的波动传播的过程，表明波的传播实际上是相位的传播，用公式表示有

式（6-12）表明要想获取t+Δt时刻的波形，只需要将t时刻的波形沿着波前进的方向移动Δx=uΔt距离就可以得到，因此这种波又称为行波。

图6-5　t时刻和t0时刻的波形图

例6-1　已知波动方程y=5cos[π（2.5t-0.1x）]，式中x、y的单位为cm，t的单位为s，求波长、周期和波速。

解　本题可采用比较系数法。

将波动方程改写成

与波动方程比较得

例6-2　已知波动方程（SI），求：（1）同一时刻距原点为6 m和8 m两点处质点振动的相位差；（2）波线上各点在时间间隔0.3 s内的相位差。

解　由波动方程可得

（1）同一时刻，在波线上任意两点处质点振动的相位差

将x1=6m，x2=8m代入，可得

这表明同一时刻x2=8m处的相位比x1=6m处的相位落后

（2）波线上任一确定点在某一时间间隔的相位差为

将数据代入，得

例6-3　如图6-6所示，已知t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿x方向传播，经t=1/2 s后波形曲线为Ⅱ。已知波的周期T＞1 s，试根据图中绘出的条件求出波动方程，以及点A的振动方程。（已知点A离原点O的距离为0.01 m。）

图6-6　例6-3图

解　由图可知：λ=0.04 m。则波速、周期、圆频率分别为

设原点O的振动方程为

将t=0代入振动方程，cosφ=0，则可得，此时v0＜0，φ取，则原点O的振动方程为

因振动沿x轴正方向传播，进而可以写出波动方程，即

则点A的振动方程为