大学物理教程：刚体定轴转动动能定理

1.力矩做功

质点受到外力作用时发生位移，称为力对质点做功，是力在空间上的积累效应。若刚体在外力矩作用下发生角位移，就是力矩对刚体做功，是力矩在空间上的积累效应。

如图4-12所示，有一刚体在外力F作用下绕转轴转过的角位移为dθ，力的作用点位移为dr，则力F做的元功为

图4-13　力矩做功

式中，Ft为力F在作用点的切向分力，，又由力F对转轴的力矩为M=Ftr，所以

式（4-31）表明，力矩所做的元功dW等于力矩M与角位移dθ的乘积。如果力矩保持不变，刚体在此力矩作用下转过θ时，力矩做的功为

若力矩是变化的，则力矩做的功为

力矩的功率是

即功率一定时，力矩与角速度成反比。

2.转动动能

一个转动的刚体所具有的动能称作转动动能。设一转动的刚体在某时刻角速度为ω，刚体内每一个质元都在各自的转动平面内作角速度为ω的圆周运动。设第i个质元的质量为m，到转轴的距离为ri，则它的线速度vi=riω，该质元所具有的动能为

整个刚体所具有的动能为刚体内所有质元的动能之和，有

式（4-36）表明，刚体的定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度二次方的乘积的一半。这与质点的平动动能的表达式在形式上是完全相似的。

3.刚体的定轴转动的动能定理

根据转动定律M=Jα=J，我们可以将力矩做功改写为

式中，J为常量，在时间间隔Δt内，合外力矩对刚体做功，刚体的角速率由ω1变为ω2，合外力矩对刚体做的功为

式（4-38）表明，合外力矩对刚体做的功等于刚体转动动能的增量，这就是刚体的定轴转动的动能定理。

例4-6　A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，如图4-14所示。A轮的转动惯量JA=10 kg·m2，B轮的转动惯量JB=20 kg·m2。开始时，A轮的转速为600 r/min，B轮静止。两轮通过一摩擦离合器C接触，通过摩擦离合器C，两者最终具有同样的转速，求该共同的角速度。另外在此过程中，两轮的机械能有何变化？

图4-14　例4-6图(www.xing528.com)

解　将A、B、C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴存在力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得

则共同的角速度为

在此过程中，两轮的机械能变化为

例4-7　讨论下列各过程中动量、角动量、动能是否守恒？

（1）如图4-15（a）所示，一质量不计的细绳吊着一沙袋，子弹击入沙袋的过程（以子弹和沙袋为系统）；

（2）如图4-15（b）所示，一刚性杆可绕支点O自由转动，子弹击入杆的过程（以子弹和杆为系统）；

（3）如图4-15（c）所示，一质量不计的细绳连着一质量为m的小球作圆锥摆运动，圆锥摆摆动的过程（以圆锥摆为系统）。

图4-15　例4-7图

讨论　（1）如图4-15（a）所示，以子弹和沙袋为系统。由于子弹击入沙袋的过程中，系统所受的合外力为零，合外力对支点O的力矩为零，所以在该过程，系统动量守恒、角动量守恒。由于子弹击入沙袋的过程中，子弹与沙袋间的摩擦阻力（非保守力）将做功，所以系统机械能不守恒。

（2）如图4-15（b）所示，以子弹和杆为系统。子弹击入杆的过程，由于支点O对杆的作用力不能忽略，系统所受的合外力不为零。但由于支点O对杆的作用力对支点O的力矩为零，系统所受的合外力矩为零。子弹击入杆的过程，子弹与杆间的摩擦阻力将做功。所以该过程中系统角动量守恒、动量不守恒、机械能不守恒。

（3）如图4-15（c）所示，以圆锥摆为系统。在圆锥摆摆动的过程中，系统所受的合外力不为零。但张力F的作用线通过O轴，不产生力矩。重力G与O轴平行，也不产生力矩。即合外力对O轴的力矩为零。圆锥摆摆动的过程，没有任何力做功。所以该过程中系统机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒。

例4-8　如图3.19所示，一长为l、质量为m′的杆可绕支点O自由转动。一质量为m的子弹以某一速率射入杆内，其离支点的距离为a，若使杆的最大偏转角为30°，问子弹的速率v应为多少？

图4-16　例4-8图

分析　以子弹和杆为系统，子弹射入杆的过程，要注意该过程支点O对杆的作用力（外力）不可忽略，因此该过程系统动量不守恒。但系统对支点O合外力矩为零，故系统角动量守恒

解　设子弹射入杆后杆摆动的角速度为ω，把子弹和杆看作一个系统。子弹射入杆的过程中系统角动量守恒，有

子弹射入杆后，杆摆动到最大偏角的过程中，以子弹、细杆为系统，由动能定理，有

式（1）、（2）联立解得子弹的初始速率为