刚体定轴转动角动量和守恒定律

1.刚体的定轴转动的角动量

刚体绕定轴转动时，每一个质元都以相同的角速度绕该固定轴转动，所有质元对该轴的角动量之和就是刚体绕该固定轴转动的角动量。设某一个质元质量为Δmi，到某固定轴的距离为ri，角速度为ω，则该质元对该固定轴的角动量为，由于所有质元都具有相同的角速度，且对轴的角动量方向一致，所以刚体的定轴转动的角动量为

这就是刚体对轴的角动量，即刚体对某固定轴的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积，方向与此时角速度方向相同。

2.刚体的定轴转动的角动量定理

我们知道，当转轴确定时，刚体的转动惯量也是确定的一个常数，则根据转动定律有

式（4-28）表明，刚体的定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于此时刚体角动量随时间的变化率，这就是刚体的定轴转动的角动量定理。

设有一转动惯量为J的刚体绕某定轴转动，在合外力矩M的作用下，在时间间隔Δt=t2-t1内，角速度由ω1变为ω2，则由式（4-28）可得

式（4-29）表明绕定轴转动的刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内对该轴角动量的增量。它是刚体的定轴转动的角动量定理的积分形式。

3.刚体的定轴转动的角动量守恒定律

当作用在刚体上的合外力矩M=0时，根据式（4-29）可以得到

式（4-30）说明，若刚体所受的合外力矩为零，或者不受外力矩的作用时，刚体对定轴的角动量保持不变。这就是刚体的定轴转动的角动量守恒定律。

需要说明的是，在前面叙述角动量守恒定律的过程中，都涉及一些理想化条件的限制，但是它的适用范围却远远超出原有条件。(www.xing528.com)

例4-4　如图4-11所示，质量为m、长为l的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴O转动。现将细棒拉到水平位置（OA′）后放手，细棒下摆到竖直位置（OA）时，与静止放置在点A处的质量为M的物块做完全弹性碰撞，物块在水平面上向右滑行了一段距离s后停止。设物块与水平面间的摩擦因数μ处处相同，求证：

图4-11　例4-4图

解　细棒在下降过程中且与物块碰撞之前，机械能守恒。将细棒和地球看作一个系统，以细棒在竖直位置时的质心C为重力势能零点，则有

细棒与物块发生完全弹性碰撞，则在此过程中角动量和机械能守恒，设碰撞后细棒的角速度为ω′，物块的速度为v，则有

碰撞后的物块在水平面滑行，该过程满足动能定理，可得

式（1）、（2）、（3）、（4）联立可得

例4-5　半径为R，质量为M的圆柱体可绕水平轴O转动，它原来静止，若有质量为m，速度为v的子弹射入圆柱体边缘并留在其中，如图4-12所示，求子弹射入圆柱体后，圆柱体的角速度。

图4-12　例4-5图

解　在子弹射入过程中，子弹和圆柱体系统所受对水平轴O的合外力矩（忽略重力影响）为零，系统对水平轴O的角动量守恒，有

因此，方向垂直纸面向里的圆柱体的角速度的大小为