大学物理教程：机械能守恒原理实践

1.质点系的动能定理

对于单个质点来说，合力所做的功等于质点动能的增量，即

对于质点系来说，则有

式（3-36）表明，作用于质点系的力所做的功，等于质点系动能的增量，这就是质点系的动能定理。

在一个质点系中，每个质点所受到的合力既有来自质点系之外的力，也有来自质点系内部质点相互之间的作用力，即有外力和内力。因此，作用于质点系的力所做的功应该是外力做功和内力做功之和，即

这说明，作用于质点系的合外力与合内力做功之和，等于质点系动能的增量。

2.质点系的功能原理

系统内各质点之间的作用力，即有保守力也有非保守力，我们用W保内表示质点系中所有保守内力做功之和，用W非保内表示质点系中所有非保守内力做功之和，并且保守内力做功等于系统势能增量的负值，即

那么可以得到

我们将动能和势能统称为机械能，用E表示，则式（3-40）可写为

式（3-41）表明，外力与非保守内力对系统所做功之和，等于系统机械能的增量。这就是质点系的功能原理。

3.机械能守恒定律

从质点系的功能原理可以看出，若质点系所受合外力及非保守内力对系统做功之和为零，即W外+W非保内=0，会有E=E0。即

所以，当作用于质点系的外力和非保守内力均不做功，或外力和非保守内力对质点系做功的代数和为零时，质点系的机械能是守恒的；也可以说当只有保守内力做功时，质点系的机械能守恒，这就是机械能守恒定律。

需要注意的是，机械能守恒不是说动能和势能都不变，而是动能和势能可以相互转化，但是系统总的机械能不变；另外，运用动能定理、功能原理和机械能守恒定律时，其中所涉及的速度与位置一定要是相对于同一惯性系的。

例3-4　如图3-9所示，质量为m的物体，从四分之一圆槽的点A静止开始下滑到点B。在点B处速率为v，槽半径为R。求物体从点A运动到点B过程中摩擦力做的功。

图3-9　例3-4图(www.xing528.com)

解　方法一：

按功定义m在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程为

其中，Fr为物体受到摩擦力，则

方法二：

物体受三个力：FN、Fr、G。它们分别是物体受到的支持力、摩擦力和重力，设它们对物体所做的功分别为WN、Wr、WG。由有

方法三：

用功能原理，取m、地为系统，由于无非保守内力，则W非保内=0，系统受到的合外力做的功为W外=Wr（FN不做功，即槽对地的力也不做功）。

注意：此题目机械能不守恒。

例3-5　一匀质链条总长为L，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一端的长度为a，如图3-10所示，设链条与桌面之间的滑动摩擦因数为μ，令链条由静止开始运动，求：（1）从链条开始运动到其全部离开桌面的过程中，摩擦力做了多少功？（2）链条全部离开桌面时的速率是多少？

图3-10　例3-5图

解　（1）当链条下垂部分为x时，链条与桌面之间的摩擦力为

链条在桌面滑动的整个过程中，摩擦力对链条做的功为

（2）以链条、地球为系统，由功能原理得

以桌面为零势能点，由于链条均匀，有

所以链条离开桌面时的速率为