大学物理教程：质点动能定理及应用

1.功

如图3-4所示，有一质点在力F作用下发生的位移为dr，F与dr的夹角为θ。力F所做的元功为

图3-4　力做功的示意图

即功的定义为：力在位移方向上的投影与位移大小的乘积。虽然力和位移是有大小有方向的矢量，但是它们的标积——功，却是只有大小没有方向的标量。功的正负由力F和位移dr的夹角θ决定，当时，功为正值，即该力做正功；当时，功为负值，即该力做负功；当时，力不做功。

在图3-4中，若质点在变力F作用下按照图中所示路径从点A运动到点B，求这个过程中力所做的功，则需要把该路径分割成无穷多个元位移，在每一段元位移中，力可看作是恒定不变的，这样我们将力在每一段元位移上所做的元功相加就是变力F在整个过程中所做的功，即

在直角坐标系中，F和dr都是坐标x、y、z的函数，即

因此变力所做的功可以写成

我们也可以通过作图的方法表示功。如图3-5所示，以F cosθ为纵坐标，以路程s为横坐标，曲线下方所包围面积就是变力所做功的代数值，图中狭长的矩形阴影面积就是力F在ds上所做的功。

图3-5　力F的功

在国际单位制中，功的单位是N·m，我们把这个单位叫作焦耳，简称焦，用J表示。功的量纲是ML2T-2。

单位时间内做的功叫作功率，用P表示，有

在国际单位制中，功率的单位名称是瓦特，简称瓦，用W表示。(www.xing528.com)

2.质点的动能定理

如图3-6所示，有一质量为m的质点在力F作用下从点A运动到点B，它在A、B两点的速率分别为v1、v2，在曲线上取一段元位移dr，力在这段元位移上做的功为

图3-6　动能定理

则在质点从点A移动到点B的过程中，力F所做的总功为

是一个和质点运动状态有关的物理量，我们将其命名为质点的动能，并用Ek表示，故式（3-20）表明外力对质点做的功等于质点动能的增量，其也可写为

这就是质点的动能定理。

例3-3　用铁锤把钉子敲入墙上的木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板1 cm。问第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？

分析　由于两次锤击钉子的条件相同，锤击后钉子获得的速度相同，所具有的初动能也相同；由动能定理可知，钉子钉入过程是阻力做功等于钉子动能的增量，两次动能增量相同（末动能均为零），所以两次钉子钉入过程阻力做功相同。

解　取x轴沿钉入的方向，原点在板面上。由于阻力与深度成正比，则有F=-kx（k为阻力系数）。令第一次敲击钉子后钉子的深度为x1=1 cm，第二次敲击钉子后钉子的深度为x2。由于两次阻力做功相等，可得

所以第二次敲击能把钉子钉入的深度为