大学物理教程：圆周运动及其角量描述

圆周运动是曲线运动的一个重要特例，先研究圆周运动方便研究一般曲线运动。物体绕定轴转动时，物体上每个质点都作圆周运动，因此，研究圆周运动又是研究物体转动的基础。

1.匀速圆周运动　向心加速度

质点作圆周运动时，如果在任意相等的时间内，质点通过相等的弧长，即质点在任意时刻的速率都相等，这种运动称为匀速圆周运动。

如图1-9所示，设圆周的半径为R，圆心为O，在Δt时间内，质点从点A到达点B。在A、B两处，质点的速度分别为v1和v2。

图1-9　匀速圆周运动

质点在A、B两点的速率相等，即

其加速度为

这个加速度的大小和方向可用下面的几何关系求得。

首先讨论加速度的大小：加速度的大小为

由相似三角形，从图1-9中可看出：

所以

因v和r均为常量，可取出于极限号之外，得

因为Δt→0时=Δs，所以

再讨论加速度的方向：加速度的方向是Δt→0时Δv的极限方向。由图1-9可看出Δv与v1间的夹角为（π-Δθ）；当Δt→0时，这个角度趋于，即a与v1垂直。所以加速度a的方向是沿半径指向圆心，称为向心加速度。

2.变速圆周运动

质点在圆周上各点处的速率如果是随时间改变的，那么这种运动称为变速圆周运动。在变速圆周运动中，速度的大小和方向都在变化，加速度a的方向不再指向圆心（如图1-10所示）。通常将加速度a分解为两个分加速度，一个沿圆周的切线方向，叫作切向加速度，用at表示，反映速度大小的变化；一个沿圆周的法线方向，叫作法向加速度，用an表示，反映速度方向的变化。即

图1-10　变速圆周运动

3.圆周运动的角量描述

质点的圆周运动也常用角位移、角速度、角加速度等角量来描述。(www.xing528.com)

如图1-11所示，一质点在Oxy平面内，绕原点O作圆周运动（半径为R）。设在时刻t，质点在点A，OA与x轴之间的夹角为θ，θ随时间而改变，即θ是时间的函数θ（t），称为角坐标。在时刻t+Δt，质点到达点B，半径与x轴之间的夹角为θ+Δθ。也就是说，在Δt时间内，质点转过的角度为Δθ，Δθ称为质点对原点O的角位移。

图1-11　角位移

角坐标θ（t）随时间的变化率，即，称为角速度，用符号ω表示，则有

通常用弧度（rad）来度量θ，所以角速度ω的单位名称为弧度每秒，符号为rad·s-1。

质点由图上的点A运动到点B，所经过的圆弧为Δs=RΔθ，可得出速率和角速度之间的瞬时关系为

角速度ω随时间的变化率，即，称为角加速度，用符号α表示，则有

角加速度的单位名称为弧度每二次方秒，符号为rad·s-2。

可见，法向加速度的值为

切向加速度的值为

例1-9　一质点作半径R为1 m的圆周运动，它通过的弧长s按规律s=t+2t2变化，式中s的单位为m，时间t的单位为s。求质点在2 s末的速率、法向加速度和切向加速度的值。

解　由速率定义，得

将t=2 s代入，得质点在2 s末的速率为9 m·s-1。则质点在2 s末法向加速度的值为

质点在2 s末切向加速度的值为

例1-10　一半径为0.50 m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在t=2.0 s时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·s-1。求：（1）该轮在t′=0.5 s时的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2.0 s内所转过的角度。

分析　首先应该确定角速度的函数关系ω=kt2。依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度，从而求出式中的比例系数k，ω=ω（t）确定后，注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系，由运动学中两类问题求解的方法（微分法和积分法），即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移。

解　（1）因v=ωR，在t=2.0 s时，由题意ω∝t2得比例系数，即

则t′=0.5 s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为

（2）在2.0 s内该点所转过的角度为