在线路纵坡改变处，为了行车的平稳和行车视距的要求，在竖直面内应以曲线衔接，这种曲线称为竖曲线。竖曲线有凸形和凹形两种，如图11.31 所示。
图11.31 竖曲线
图11.32 竖曲线元素
竖曲线一般采用圆曲线，这是因为在一般情况下，相邻纵坡的坡度差都很小，而选用的竖曲线半径都很大，因此即使采用二次抛物线等其他曲线，所得到的结果也与圆曲线十分近似。
对于曲线的测设，只要解算出竖曲线上待测设点的设计高程，即可按点高程测设的方法放样竖曲线。
如图11.32 所示，两相邻纵坡的坡度分别为i1，i2，竖曲线半径为R，则竖曲线长为L=R·α。
由于竖曲线的转角α 很小，故可认为α=i1-i2。
又因为α 很小，可以认为y 坐标方向PN 与过P 点的半径方向一致且PM=y，还认为它是切线上与曲线上的高程差。由此得：
（R+y）2=R2+x2，2Ry= x2-y2，y2与x2相比较，其值甚微，可略去不计。故有：
式中x 为竖曲线上任一点P 至竖曲线起点或终点的水平距离。y 值在凹形竖曲线中为正号，在凸形竖曲线中为负号。
算出高程差y 值后，可根据变坡点的高程计算竖曲线上各点的设计高程H曲线点设。
式中D 为坡度线上各点至变坡点的水平距离（竖曲线各点与变坡点的里程差），i 为纵坡的坡度。
从图11.32 中还可看出，ymax≈E，故(www.xing528.com)
[例]一线路某处相邻坡段的坡度分别为+4‰及-6‰，变坡点的里程为DK217 +240，其高程为418.69 m，该坡段采用半径为10 000 m 的凸形竖曲线连接，试计算曲线上每隔10 m 设置一曲线点的设计高程。
曲线长L=10 000 ×[ +4‰-（-6‰）]=100 m，切线长T=L/2=50 m，
变坡点里程为DK217 +240，则竖曲线起点的里程为DK217 +240-L/2=DK217 +190，终点的里程为DK217 +240 +L/2=DK217 +290。由（11.24）式可计算出竖曲线上每隔10 m 设置一曲线点的设计高程（见表11.3）。
表11.3 竖曲线设计高程计算表
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