园林工程测量：导线测量的内业计算简述

导线测量的目的是要获得各控制点的平面直角坐标。外业完成后，应根据已知点的坐标和外业观测数据计算出导线点的坐标。坐标计算之前，先检查外业记录和计算是否正确，观测成果是否符合精度要求。检查无误后，绘制导线略图，将观测成果整理后填入略图中。

1）坐标计算的原理

各导线控制点的平面坐标是由已知控制点的坐标及各相邻导线点之间的坐标增量推算出来的，而相邻导线点之间的坐标增量又是由相邻导线点之间的方位角及其边长计算获得的。因此，导线控制点的坐标计算原理有相邻导线边方向方位角的推算和相邻导线点之间坐标增量的计算。

（1）相邻导线边方向的方位角推算　相邻导线边方向方位角推算是通过导线边的已知方位角（起算方位角）及相邻导线边之间的转折角来依次推算出各导线边的方位角。

①用左转折角βi左推算方位角

如图6.11 所示，由i-1，i，i+1 三个导线点组成的相邻导线边i-1，i 及i，i+1，其方位角分别为αi-1，i，αi，i+1，现要求由i-1，i 导线边的方位角αi-1，i及它与导线边i，i +1 之间的左转折角βi左来推算出i，i+1 导线边的方位角αi，i+1。由图6.11 不难得出：

将αi，i-1=αi-1，i±180°代入上式可得：

（6.1）式中，若αi-1，i+βi左≥180°，取“-”号，反之，取“+”。

（6.1）式也可写成：

在应用（6.2）式时，其计算结果αi，i+1应在0°~360°，否则应将其计算结果αi，i+1加或减360°的整数倍，使αi，i+1在0°~360°范围内。

②用右转折角βi右推算方位角

根据以上的思路，由图6.12 不难得出用右转折角βi右推算方位角的公式：

在应用（6.3）式时，按上述同样的方法使αi，i+1最后计算结果在0°~360°。

图6.11　方位角的推算

图6.12　用右转折角推算方位角

[例]已知AB 的方位角αAB=357°32′48″，观测水平角α=41°54′38″，β=97°28′55″，γ=54°33′16″，δ=104°55′47″。求方位角αAC，αBC，αAD，αBD。如图6.13 所示。

解：αAB=357°32′48″，则其反方位角αBA=177°32′48″，由方位角的推算公式（6. 2）及（6.3）得：

αAC=αBA-(β-α) +180°=177°32′48″-(97°28′55″-41°54′38″) +180°=301°58′31″

αBC=αAB+(δ-γ)-180°=357°32′48″+(104°55′47″-54°33′16″)-180°=227°55′19″

αAD=αBA+α-180°=177°32′48″+41°54′38″-180°=39°27′26″

αBD=αAB-γ+180°=357°32′48″-54°33′16″+180°-360°=122°59′32″

（2）相邻导线点之间坐标增量的计算

如图6.14 所示，两相邻导线点i 与i+1 的水平距离为Di，i+1，其方位角为αi，i+1，i 点至i+1点的坐标增量不难得出：

图6. 13　方位角推算示例

图6. 14　相邻导线点坐标增量计算

（6.4）式为计算两相邻导线点坐标增量的计算公式，也称为坐标计算的正算公式。由两点的坐标计算两点连线的距离及方位角的计算公式称为坐标计算的反算公式。坐标计算的反算公式为：

在应用（6.5）时，为使计算出的方位角在0°~360°，要考虑以下两种情况：

[例]已知A，B 两点的坐标为：xA=468. 423 m，yA=377. 329 m，xB=572. 157 m，yB=275.123 m。

试计算A，B 两点间的距离DAB及连线的方位角αAB。

解：ΔxAB=xB-xA=572.157-468.423= +103.734，ΔyAB=yB-yA=275.123-377.329=-102.206

根据坐标计算的反算公式可得：

A，B 两点间的距离DAB：

2）单一导线的近似平差计算

在低等级（四等以下）导线的平差计算中，采用近似平差方法计算各导线点的坐标也能满足其精度要求。导线的近似平差分为角度平差和坐标平差两大步骤。在附合导线、闭合导线、支导线三种导线形式中，附合导线最具代表性，下面以附合导线为例介绍单一导线近似平差计算的方法步骤。

图6.15　附合导线计算

图6.15 为一附合导线，在A，B，C，D 四个已知控制点中，B 为导线起点，C 为导线终点；αAB为导线的已知起算方位角，αCD为与附合导线终点相连的已知方位角。观测值有两类，一类是起点B、终点C 及1，2，3 各未知导线点上的转折角β，另一类是相邻导线点的边长D（已知边DBA，DCD除外）。根据该导线的已知起算数据及观测值，用近似平差方法计算各未知导线点坐标的方法步骤如下：

（1）角度平差

①计算角度闭合差

上式中：n 为导线转折角的个数，本例中n=5。

理论上，α′CD理=αCD，但由于测角误差的存在，它们之间有一个角度闭合差fβ：角度闭合差的容许值fβ容许由导线等级决定，例如规范规定图根光电导线角度闭合差的容许值为：

上式中的n 与式（6.6）、式（6.7）相同。

②角度闭合差的分配

若导线用左转折角β左推算方位角时，将fβ反号平均分配给各转折角；反之推算方位角用的是右转折角β右，则直接将fβ平均分配给各转折角。对闭合导线，若fβ用闭合多边形内角和关系计算得出的，不论推算方位角用的β左还是β右，都将fβ反号平均分配给闭合多边形的各内角。分配时保留至秒，若有余差，则将余差分到短边的邻角。即：

③由改正后的转折角βi改正后来依次推算各导线边方位角

相邻导线点i 至i+1 的方位角由式（6.2）或式（6.3）得出：

（2）坐标平差

①相邻导线点坐标增量的计算

根据角度平差获得的相邻导线点之间的方位角αi，i+1及其观测距离Di，i+1，由坐标计算的正算公式（6.4）计算出相邻导线点之间的纵、横坐标增量的初算值Δxi，i+1初算、Δyi，i+1初算。

②导线纵、横坐标闭合差fx，fy的计算

导线纵、横坐标闭合差fx，fy的计算公式为：

导线全长闭合差：

导线全长相对闭合差：

③导线纵、横坐标闭合差fx，fy的分配

将导线纵、横坐标闭合差fx，fy反号后，按与各导线边边长成正比分配在该导线边两导线点之间的坐标增量上。其纵、横坐标增量的改正数按下式计算：

相邻导线点之间改正后的坐标增量为：

④各导线点坐标的依次推算：

相邻导线点i 至i+1 的坐标推算公式如下：

[例]在图6. 15 所示的附合导线中，A、B、C、D 四个已知点的坐标为：A（843. 391，1 264.300）、B（640.932，1 068.446）、C（589.975，1 307.872）、D（793.615，1 399.178）。观测水平角：βB=114°17′00″，β1=146°59′30″，β2=135°11′30″，β3=145°38′30″，βC=158°00′00″，测得各导线边的边长为：DB1=82.173 m，D12=77.286 m，D23=89.641 m，D3C=79.840 m。试用导线近似平差的方法计算各导线点的坐标。

先用A，B，C，D 的已知坐标通过式（6.5）计算出导线起算方位角αAB=224°03′00″，终点附合的已知方位角αCD=24°09′00″，然后根据导线的近似平差的方法步骤在表6.3 进行相应的平差计算，最后推算出未知导线点1，2，3 各点的坐标。

从表6.3 可以得出：

表6.3　附合导线坐标计算表

闭合导线平差计算的方法步骤与附合导线基本相同，只是它们在计算导线的角度闭合差时略有差别。当闭合导线用闭合多边形的外角计算角度闭合差时，其计算方法与附合导线相同；当用闭合多边形内角计算角度闭合差时，闭合多边形各内角测量值之和与其理论值之差就是它的角度闭合差。即：

上式中n 为闭合导线的边数。

用式（6.18）计算闭合导线角度闭合差更简便。

[例]图6. 16 为一闭合导线，已知1 点的坐标为（500. 000 m，500.000 m），已知1-4 边的坐标方位角α14=30°15′30″；观测角为：β1=137°42′12″，β2=42°13′39″，β3=87°23′09″，β4=92°40′30″，测得各导线边的边长为：D12=70.086 m，D23=144.298 m，D34=47.043 m，D41=90.321 m。试计算2，3，4 各导线点的坐标。

该闭合导线的角度闭合差可由（6.18）式算出：

fβ= ∑β测-（n-2） × 180°= 359°59′30″-（4-2） × 180°=-30″，α14= 30°15′30″，则α41= 210°15′30″

其坐标闭合差根据表6.4 中的相关数据计算如下：(www.xing528.com)

图6.16　闭合导线计算

表6.4　闭合导线坐标计算表

导线近似平差的计算工作比较烦琐，不仅工作量大，而且容易出错。要解决这一问题，可根据导线近似平差的数学模型在fx-5 800p 等程序型计算器上编制相应的计算程序，利用计算程序来进行导线近似平差计算非常方便。在fx-5 800p 计算器上编制的计算程序如下：

运行上述程序时，附合导线“I”输1，闭合导线“I”输0；导线平差采用左转折角“K”输1，导线平差采用右转折角“K”输0；“N”输未知导线点的点数；“B1”“BN”输导线起、终点相连的已知方位角，输入时，度后加小数点，分和秒需输两位，如189°6′5″，输189.060 5 即可，以下输入的角度观测值或输出的方位角及方位角闭合差都按同样的方法，闭合导线只需输“B1”；“X1”“Y1”输导线的起点纵、横坐标，“XN”“YN”输导线终点的纵、横坐标，闭合导线只需输“X1”“Y1”；“C”为按导线点编号顺序依次输入的导线转折角；“D”为按导线点编号顺序依次输入的各导线边边长；闭合导线的转折角及导线边边长的输入顺序按起、终点都有已知方位角标准的附合导线的转折角及导线边边长输入顺序输入。

输出的“FB”为导线方位角闭合差；“FWJ”为按导线点编号顺序依次输出的各导线边方位角；“FX”“FY”为导线纵、横坐标闭合差；“K”为导线全长相对闭合差的分母值；“X”“Y”为按导线点编号顺序依次输出的各导线点的纵、横坐标。

3）无定向导线的坐标计算

由于导线两端都没有已知的起算方位角，导致无法正常推算各导线边的方位角。解决这一问题的途径是：首先假定导线第一条边的坐标方位角作为起始方向，依次推算出各导线边的假定坐标方位角，然后用各导线边的边长及假定坐标方位角分别推算出各导线边的假定坐标增量，进而得出各导线点的假定坐标。因起始边的定向不正确及转折角、导线边长测量误差的影响，导致导线终点的假定坐标与其已知坐标不相等。为消除这一矛盾，可用导线起、终点固定边的已知长度和已知方位角分别作为导线的尺度标准和定向标准对导线进行缩放和旋转，使导线终点的假定坐标与其已知坐标相等，以此计算出各导线点的坐标平差值。

如图6.17 所示，A，B 两个控制点的坐标已知，但不通视，在它们之间布设了导线点1，2，3，观测了相邻导线边的转折角和各导线边的边长，计算各导线点坐标平差值的计算步骤如下：

（1）根据假定起始边方位角计算B′点的坐标　根据无定向导线平差计算的思路，若以起始点A 为基准将导线进行缩放和旋转后，则除A 点外的其他点就变成了1′，2′，3′，B′。计算时可假设起始边A1 的坐标方位角为αA1′，由导线的转折角βi按式（6.3）推算出各边的假定方位角αi′，i′+1，再根据各边的观测边长和假定方位角推算各边的假定坐标增量和各点的假定坐标，直至推出B 点的假定坐标B′（xB′，yB′）。

（2）计算导线的旋转角δ 和缩放比Q

图6.17　无定向导线

（3）计算导线点坐标平差值　由于ΔxAi=xi-xA=DAi.cos αAi；ΔyAi=yi-yA=DAi.sin αAi；顾及式（6.19）和式（6.20）得：

令Q1=Q.cos δ，Q2=Q.sin δ，则有：

当导线点i 为终点B 时，式（6.21）可变为：

在上式中，ΔxAB，ΔyAB为已知值，ΔxAB′，ΔyAB′为假定坐标增量计算值，由此可求出Q1和Q2。即：

将Q1，Q2代入式（6.21）可得计算各导线点坐标平差值得计算公式，即：

（4）精度评定　无定向导线的精度可采用固定边长相对闭合差k 来评定，即：

上式的DAB和DAB′分别为导线起、终点固定边的真、假边长，可利用其真、假坐标由式（6.5）计算得出。

[例]无定向导线（图6.17）的起、终点已知，坐标和观测值如下：A（754.707 m，554.723 m），B（376.290 m，654.656 m），测得：DA1=245.535 m，D12=172.374 m，D23=164.016 m，D3B=123.708 m，β1=130°12′18″，β2=120°26′34″，β3=135°42′16″。

该导线平差计算的结果具体见表6.5。

表6.5　无定向导线计算