园林工程测量：误差传播定律及应用

上节讨论了如何根据等精度观测值的真误差来评定观测值精度的问题。但是，在实际测量工作中有许多未知量是不能直接观测而求其值的，而是要依靠直接观测值的某种函数关系间接求出来。例如，某未知点B 的高程HB，是由起始点A 的高程HA加上从A 点到B 点间进行了若干站水准测量获得的观测高差h1，h2，…，hn求和而得。此时未知点B 的高程HB是各独立观测值（h1，h2，…，hn）的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？我们把表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。

设有一般函数

式中x1，x2，…，xn为独立的可直接观测的未知变量，设xi相对应的观测值为li（i=1，2，…，n），其相对应的真误差为Δxi，中误差为mi，Z 为不可直接观测的待求未知量，由于Δxi的存在，使函数Z 产生相应的真误差为ΔZ，中误差为mZ。因为xi=li-Δxi。

当观测值xi变化Δxi（真误差）时，函数Z 也随之相应变化ΔZ（真误差）。即：

因真误差Δi都很小，可按泰勒级数公式将上式展开，并取至第一次项得

即

其中是函数对各变量所取的偏导数，以变量近似值（观测值）代入计算出数值，它们是常数，上式ΔZ变成了Δx1，Δx2，…，Δxn的直线函数形式。

为了求得观测值和函数之间的中误差关系，假设对xi进行了k 次独立观测，相应可得出k个类似的函数式

将以上各式平方后求和，并将式子两边除以k，另由偶然误差的特性可知，当观测次数k→∞时，下式中各偶然误差Δxi的交叉项总和均趋向于零，则有

由式（5.4）上式可写成

或

式（5.9）就是观测值中误差与其函数中误差的一般函数关系式，称中误差传播公式。根据以上推导过程不难求出表5.3 中简单函数式的中误差传播公式。

表5.3　中误差传播公式

中误差传播公式在测量中应用十分广泛。利用这些公式不仅可以求得观测值函数的中误差，还可以用来确定容许误差值的大小以及分析观测结果可能达到的精度等。

在应用中误差传播公式求解观测值函数中误差时，一般需按下列程序进行：其一需要确认观测值之间是否独立，然后才能计算观测值的中误差；其二建立观测值函数关系式，并对函数进行全微分，建立误差传播公式；最后把数值代入误差传播公式进行计算。下面举例说明其应用方法。

[例1]在1∶1 000 地形图上量得A 与B 两点间的距离dAB=45.4 mm，其中误差mdAB=0.3 mm，求A、B 两点间的实地水平距离DAB及其中误差mDAB。

解：DAB=1 000dAB=1 000 ×45.4 mm=45 400 mm=45.40 m

由表5.3 倍函数中误差传播公式得

mDAB=1 000mDAB=1 000 ×0.3 mm=0.30 m

A、B 两点的实地水平距离可写成DAB=45.40 m±0.30 m

[例2]设在三角形ABC 中，直接观测了∠A、∠B 两个角，其测角中误差分别为mA=3″，mB=4″，现按公式∠C=180°-∠A-∠B 求得∠C 角，试求∠C 的中误差mC。

解：因为∠C=180°-∠A-∠B

由表5.3 和、差函数中误差传播公式可求得∠C 的中误差mC

[例3]设x 为独立观测值L1，L2，L3的函数，其中L1，L2，L3的中误差分别为m1=3 mm，m2=5 mm，m3=6 mm，试求函数x 的中误差mx。

解：因为函数关系式为

由表5.3 线性函数中误差传播公式可求得x 的中误差mx

[例4]函数式Δy=Dsin α，测得D=225.85 ±0.06 m，α=157°00′30″ ±20″，求Δy 的中误差mΔy。

解：因为Δy=Dsin α，可见Δy 是D 及α 的一般函数。由式（5.9）可得

注：上式演算中ρ=206 265″是将度值秒转化成弧度，即有1 弧度=206 265″。

[例5]试用中误差传播关系分析视距测量方法测得的水平距离和高差的精度。

解：（1）测量水平距离的精度分析

水平距离的函数关系为

则水平距离中误差

由于根式内第二项的值很小，为讨论方便，可忽略不计，则有

式中　ml——标尺视距间隔l 的读数中误差；

因标尺视距间隔l=上、下丝读数之差

式中　m读——单根视距丝读数的中误差。

于是

又因视距测量时，一般情况下α 值都不大，当α 很小时，cos α≈1，可将上式写为

则相对中误差

（2）测量高差的精度分析(www.xing528.com)

视线倾斜时，视距高差公式为：

高差h 的中误差

当α 角不大时，cos 2α≈cos2α≈1，可将上式改写为

若ma=1′，D=100 m，则

即视距测量每100 m 距离，相应的高差中误差为3 cm。其容许误差每100 m 可达6 cm。