园林工程测量中的偶然误差特性

在一切观测结果中，都不可避免地存在偶然误差。虽然单个偶然误差表现出不具有规律性，但在相同的观测条件下对同一量进行多次观测时，所出现的偶然误差就其总体而言会遵循一定的统计规律，故有时又把偶然误差称为随机误差，我们可根据概率原理，应用统计学的方法来分析研究它的特性。

下面先介绍一个测量中的例子：在相同的观测条件下，观测了358 次一平面三角形的三个内角，由于观测值结果中存在误差，各次观测所得三角形内角观测值之和一般不等于180°，产生的真误差为Δi，设三角形三内角之和真值为X，三内角观测值之和为Li，则三角形内角和的真误差为

现将358 次观测得到的三角形内角和的真误差以误差区间dΔ（间隔）为0.2″，按其绝对值的大小进行排列，统计出各区间的误差个数k 及其相对百分率见表5.1。

从表5.1 的统计结果可以看出，小误差出现的百分率比大误差出现的百分率大，绝对值相等的正负误差出现的百分率相近，误差的最大值不会超过某一特定值（本例为1.6″）。在其他测量结果中，当观测次数较多时，误差也会显示出同样的规律，因此，在相同观测条件下，当观测值的次数增大到一定量时，就可以总结出偶然误差具有如下的统计规律特性：

表5.1　误差统计表

（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。

（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大。

（3）绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等。

（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即

式中n 为观测次数，[]表示求和。

上述第四个特性可由第三个特性导出，这说明偶然误差具有相互抵偿性。这个特性对深入研究偶然误差的特性具有十分重要的意义。

为了更充分地反映偶然误差的分布情况，除了用上述误差分布统计表（表5.1）的形式外，还可以用较为直观的图形来进行表示。若以横坐标表示偶然误差的大小，纵坐标表示各区间误差出现的相对个数k/n（又称为频率）除以区间的间隔值dΔ（本例为0.2″）。这样，每一误差区间上方的长方形面积就代表误差在该区间出现的相对个数。这样就可以绘出误差统计直方图（图5.1）。(www.xing528.com)

若使观测次数n→∞，由于误差出现的频率已趋于完全稳定，如果此时把误差区间间隔dΔ无限缩小，即dΔ→0，直方图顶端连线将变成一条光滑的对称曲线（图5.2），这种曲线就是误差的概率分布曲线（或称为误差分布曲线），也就是说，在一定的观测条件下，对应着一个确定的误差分布。在数理统计中，这条曲线称为正态分布密度曲线，该曲线又称为高斯偶然误差分布曲线。高斯根据偶然误差的统计特性，推导出了该曲线的方程式。即：

y=f（Δ）称为分布密度。式中δ 称为标准差，标准差的平方δ2为方差。

图5.1　误差统计直方图

图5.2　误差正态分布曲线

由上述偶然误差分布特点可以知道，偶然误差不能用计算来改正或用一定的观测方法简单地加以消除，只能根据其特性改进观测方法和合理处理观测数据，才能提高观测成果的质量。