地面点常用坐标表示法

地面点的空间位置是相对一定的坐标系统而言的。测量中常用的坐标系有天文坐标系、大地坐标系、高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系等。

1）天文坐标系

天文坐标又称天文地理坐标，用天文经度λ 和天文纬度φ 表示地面点的位置。它是以铅垂线为基准线，以大地水准面为基准面。如图1.5 所示，过地面点与地轴的平面称为子午面，该子午面与格林尼治子午面（首子午面）间的二面角为经度λ。过P 点的铅垂线与赤道平面的交角为纬度φ。由于地球离心力的作用，过P 点的铅垂线不一定经过地球中心。地面点的天文坐标是由天文测量获得的。由于天文测量定位精度不高，并且天文坐标之间在以大地水准面为基准面上推算困难，它在精确定位中较少使用，常用于导弹发射、天文大地网或独立工程控制网起始点定向。

2）大坐标系

大地坐标系是以大地经度L、大地纬度B、大地高H 表示地面点的空间位置。大地坐标系以法线为基准线，以椭球面为基准面。如图1.6 所示，地面点P 沿着法线投影到椭球面上为P′。过P′点的子午面和首子午面的二面角为P 点大地经度L。过P 点的法线与赤道面的交角为该点的大地纬度B，P 点沿法线到椭球面的距离H大称为大地高。

大地经纬度是根据大地原点在该点将天文经纬度作为大地经纬度的大地坐标，按大地测量所得的数据推算而得的。由于天文坐标系与大地坐标系选用的基准线、基准面有所不同，所以同一点的天文坐标与大地坐标不同。同一点法线与铅垂线的偏差称为垂线偏差。

图1.5　天文坐标系

图1.6　大地坐标系

3）高斯平面直角坐标系

大地坐标系是大地测量的基本坐标系，它对大地问题的解算、研究地球的形状与大小和编制地形图都十分有用。但它不能直接用来地形测图。若将球面上的大地坐标按一定的数学法则归算到平面上，在平面上进行数据运算，这将对用平面图纸来表示地表形态的地形测图带来很大的方便。将球面上的图形、数据转换到平面上的方法，称为地图投影。用地图投影建立椭球体上的点与平面上的点之间的函数关系式为：

式中　（L，B）——某点在椭球面上的大地坐标；

　　　（x，y）——该点投影到平面上的直角坐标。

由于旋转椭球面是一个不可展开的曲面，无论f1， f2以什么函数关系式将其投影至平面，都会产生投影变形。

投影变形的形式有正形投影、等面积投影和任意投影三种。在测量上，一般要求投影后的角度保持不变，使地形图上的任何图形都与实地图形相似，这给地形图的测绘和使用都带来了很大的方便。而这几种投影方式中正形投影能满足这一要求。

所谓正形投影，就是高等数学中所讲的保角变换（也称保角映射）。它具有两个特性：一是保角性，即投影后角度保持不变；二是伸长的固定性，即长度投影后会产生变形，但在同一点的各个方向上的微分线段，投影后长度比为一常数。

高斯投影是正形投影的一种。除满足正形投影的两个特性外，高斯投影还必须满足本身的特定条件，即中央子午线投影后为一直线，且长度不变。设想有一个椭圆柱面横套在地球椭球的外面，如图1.7 所示，并与一子午线相切，此子午线称为中央子午线或轴子午线，椭圆柱的中心轴通过椭球体赤道面及椭球中心。然后将椭球面上中央子午线附近有限范围的点线按正形投影条件向椭圆柱面上投影，再将椭圆柱面通过南、北极的母线切开，并展开为平面，此平面称为高斯投影平面（图1.8）。在此平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且正交，其他子午线和纬线都是曲线，投影后中央子午线的长度不变，离开中央子午线越远的子午线变形越大，并凹向中央子午线，各纬圈投影后凸向赤道。

图1.7　横切椭圆柱投影

图1.8　高斯平面

由于高斯投影除中央子午线投影长度不变外，其他子午线长度投影后均有变形，且离中央子午线越远，这种变形越大。当变形超过一定限度后，就会影响测图、施工的精度。因此，必须控制这种变形在一定的范围内，控制的方法是将投影区域限制在靠近中央子午线两侧的狭长地带内，即确定投影宽度的投影方法称为分带投影。

　　　n，k——各自代表6°带和3°带的带号。

不难看出，分带越多，各带包含的范围越小，投影变形也就越小。但分带过多，在工程中要进行相邻带之间的坐标换算工作量也增加。因此，为了减少换带计算，分带不宜过多。根据我国测图精度要求，用6°分带投影后，其边缘部分变形能满足1∶25 000 或更小比例尺地形图的精度要求，而1∶10 000 及其以上的大比例尺测图，只有采用3°分带法才能满足其精度要求。

图1.9　分带投影

高斯分带投影后，每一个投影带就形成了一个高斯平面直角坐标系。如图1.10 所示，投影后的中央子午线与赤道为两条正交的直线，其交点O 为坐标原点，中央子午线为纵坐标轴x，赤道为横坐标轴y，并规定x 轴正方向指向北，y 轴正方向指向东。我国位于北半球，纵坐标均为正值。为了避免横坐标出现负值，规定把纵坐标轴向西平移500 km（图1.11）。将地面点在纵坐标轴x 平移以前的高斯平面直角坐标系中的坐标值称为该点坐标的自然值；将地面点在纵坐标轴x 平移以后的高斯平面直角坐标系中的坐标值称为该点坐标的通用值。同时为了区分点位于哪一带，通用值要求在横坐标值前面冠以带号。例如P 点位于6°带第20 带，其平面坐标自然值为：

则该点平面坐标的通用值为：

图1.10　高斯平面直角坐标系

图1.11　x 轴平移后的高斯平面直角坐标系

国家基本地形图上的坐标值及测绘部门提供的坐标成果均为通用值。(www.xing528.com)

高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角坐标系有以下几个方面不同：

①坐标轴不同，高斯平面直角坐标系中纵坐标为x，正方向指向北，横坐标轴为y，正方向指向东，而笛卡尔平面直角坐标系的纵坐标为y，横坐标为x，正好相反。

②表示直线方向的方位角定义不同，高斯平面直角坐标系以纵坐标轴x 的北端起算，顺时针旋转到直线所夹的水平角，而笛卡尔坐标系以横轴x 东端起算，逆时针旋转计值。

③坐标系象限不同，高斯平面直角坐标系，以北东区（NE）为第一象限，顺时针旋转划分为4个象限；而笛卡尔坐标系也是以北东为第一象限，逆时针旋转划分成4 个象限，如图1.12 所示。

图1.12　两个坐标系的比较

（a）高斯平面直角坐标系；（b）笛卡尔平面直角坐标系

高斯平面直角坐标系如此规定是为了定向方便及直接将数学中的三角公式应用到测量计算中。

4）假定平面直角坐标系

当测量区域较小（如半径不大于10 km 的区域）时，可以不考虑地球曲率的影响，用测区中心点A 的切平面P 来代替椭球体面作为基准面（图1.13）。在该切平面上建立独立平面直角坐标系，以该地区真子午线或磁子午线为x 轴，正向指北，顺时针方向旋转构成右手系坐标系（图1.14）。为了避免坐标出现负值，该坐标系的原点应选在测区西南角（图1.13）。地面点A 在椭球面的投影位置，就可利用该平面直角坐标中的坐标值xA，yA来确定。

图1.13　水平面代替大地水准

图1.14　平面直角坐标系