隧道工程：解析法及洞室应力分布

解析法是根据所给定的边界条件，对问题的平衡方程、几何方程和物理方程直接求解的方法。这是一个弹塑性力学问题，求解时，假定围岩为无限介质，初始应力作用在无穷远处，并假定支护结构与围岩密贴，即外径与隧道的开挖半径相等，且与开挖同时瞬间完成。由于数学上的困难，目前解析法还只能给出少数简单问题的具体解答。

1．基本假定

隧道洞室开挖后，围岩的初始应力状态遭到破坏，围岩应力在洞室周围一定范围内重新调整，这种应力状态称为二次应力状态或洞室的应力状态。影响洞室围岩二次应力状态的因素是很多的，如围岩的初始应力状态、岩体地质因素、洞室开挖的形状和尺寸、埋深以及洞室开挖的施工技术等，对于具体的隧道工程问题，通常以下述假定为前提：

① 视围岩为均质的、各向同性的连续介质；

② 只考虑围岩自重造成的围岩初始应力场；

③ 隧道形状以规则的圆形为主；

④ 隧道位于地表下一定深度，简化为无限体中的孔洞问题，如图6-4-2所示。

隧道开挖后，围岩中的应力与位移视围岩强度可能会出现两种情况：一种是围岩仍处于弹性状态；另一种是开挖后应力达到或超过围岩的屈服条件，使部分围岩处于塑性状态。

图6-4-2　圆形隧道开挖问题计算模型

2．隧道开挖后的弹性二次应力状态

为了更清晰地说明问题，还可以认为对位于自重应力场中的深埋隧道，它形成的初始应力为常量场，也就是可以假定围岩的初始应力到处都是一样的，并取其等于隧道中心点的自重应力，即

（1）一般的应力分布与位移。

对于在围岩中开挖半径为r0的圆形隧道，弹性力学中有现成答案，即基尔西（G.Kirsch）公式。围岩中任一点A(r,θ)的应力和位移为（图6-4-3）

图6-4-3　洞室周边任意点的应力分析图

围岩中的应力分量由两部分组成，一部分是由初始应力产生的，另一部分是由洞室周围开挖卸载引起的，而位移分量中已减去了初始应力所引起的部分。式中K=3 -4μ，G是围岩的剪切模量，它和岩体的弹性模量E与泊松比μ之间有下列关系：

（2）在洞室周边上，即r =r0处，有：

（3）轴对称的情况。

以上是λ≠1时的情况；当λ=1，则成为拉梅（G.Lame）解，即初始应力呈轴对称分布时，有

上面各式中：正应力又称法向应力，以压为正；剪应力以作用面外法线与坐标轴一致而应力方向与坐标轴指向相反为正；径向位移向隧道内为正；切向位移顺时针为正。

将式（6-4-10）和式（6-4-11）所表示的围岩二次应力场与位移场绘成图6-4-4，能看出它们的变化情况。由该曲线可看出，在洞室周边上，主应力σr和σθ的差值最大（2p0），由此衍生的剪应力最大，所以洞室周边是最容易破坏的。实践也证明，洞室的破坏总是从周边开始，并逐步向深处发展的。从图中还可看出，随着r/r0的增大，σr和σθ均迅速接近围岩的初始应力，当r/r0=6时，相差都在3% 左右，因此可大致认为在此范围以外的岩体不受工程影响。

图6-4-4　圆形洞室等压围岩应力分布

另外，应力变化最大的部位在孔壁，法向正应力σr从γHc变到0，而切向正应力σθ从γHc变到2γ Hc，呈单向受压状态。当该值大于岩体的单轴抗压强度Rc时，就可能出现破坏。γHc/Rc就成为反映岩体状态的一个指标。

（4）非圆形情况。

对于非圆形隧道的围岩二次应力场和位移场的确定，要用到复变函数和映射理论，公式比较繁杂，这里不详述。对于浅埋圆形隧道，围岩的二次应力场和位移场就不能按以上各式确定了，应采用弹性力学中的R.D.Mindilin公式，更进一步的方法是采用有限元法等。

3．隧道开挖后的弹塑性二次应力状态

自然界的岩体很少是线弹性的，因此，开挖隧道所引起的应力集中，有可能超过岩体的强度。而局部区域的围岩进入塑性状态或受拉而破坏，必然要改变围岩的弹性二次应力场和位移场。为了简化叙述，这里只讨论侧应力系数λ=1时，圆形隧道围岩的弹塑性二次应力场和位移场的解析公式。

（1）判断围岩塑性状态（塑性屈服准则）。

对于承受任意应力状态作用的连续、均质、各向同性的岩土类材料，常采用莫尔-库仑（Mohr-Coulomb）条件作为塑性判据，亦称为屈服准则或屈服条件。由莫尔-库仑准则的几何意义有（图6-4-5）

图6-4-5　莫尔-库仑准则关系图

当λ=1时，圆形隧道为轴对称问题，没有剪力（τrθ=0），所以切向正应力σθ和径向正应力σr就成为最大、最小主应力。所以，莫尔-库仑条件可写成

上标p表示满足上式的应力就是塑性应力。由式（6-4-13）可推出判断隧道周边的围岩是否进入塑性状态的公式，当r=r0时，σr=0，τrθ=0，故只需将σ（θ2p0=2γHc） 的值代入式（6-4-13），即有

从单轴抗压强度的几何关系可知：

于是便得到

（2）确定塑性区的应力场。

在塑性区，围岩任一点的应力分量仍需满足平衡条件。对于轴对称问题，当不考虑体积力时，极坐标中的平衡方程为

此外，尚需满足塑性条件，即莫尔-库仑条件。因此，可从式（6-4-13）中解出并代入平衡微分方程式（6-4-17）中消掉，然后再积分，并利用边界条件r=r0时，消去积分常数，便可得塑性区的应力分量

如果隧道开挖后，在洞室周边上受到径向作用力Pi（如支护力），则塑性区的应力为

由上式可知：围岩塑性区的应力值与围岩的初始应力状态无关，仅取决于围岩本身的强度参数c φ、值，同时随r的增大而增大；超过塑性区范围后，又恢复为弹性状态。

（3）弹性区的应力场和位移场。

显然，塑性区半径R0以外的围岩必定仍处于弹性状态，如图6-4-6所示。弹性区的应力与位移仍可按无限弹性平面内孔洞问题求解，只是边界条件不同。(www.xing528.com)

图6-4-6　圆形洞室围岩弹塑性区分布

① 在外边界有

② 在r=R0处有

故弹性区的应力和位移为

从上式中可看出，弹性区应力与地层特性常数c φ、及支护对塑性区地层的作用力有关。弹性区位移包括初始应力、塑性区传来的径向应力引起的位移，还包括开挖前围岩在初始应力作用下的变形量。如围岩二次应力场以开挖前围岩的状态为基准，则应将其扣除。

（4）围岩塑性区范围的确定。

从式（6-4-18）或式（6-4-19）中可知，在λ=1时，距隧道中心某一距离的各点，其应力值是相同的，因此围岩中的塑性区必然是个圆形区域，如图6-4-6所示。现令这个圆形塑性区的半径为R0，那么在塑性区与弹性区的交界面上（即在r=R0处），塑性区的应力σp与弹性区的应力σe一定保持平衡，也就是当r=R0时有

则可得到求解塑性区半径的方程式

解之，得

从上式可知，塑性区范围不仅与围岩强度参数有关，而且与围岩的初始应力状态和支护对围岩的作用力有关。在自重应力场中，隧道埋深越大，塑性区范围越大。Pi在R0计算式的分母中出现，表示支护可以限制洞室周围地层塑性区的开展。

（5）洞周位移。

设由开挖引起的洞周径向位移为u0，塑性区外缘（即弹性区内缘）的径向位移为up，则

试验证明，岩土材料在发生塑性变形时仅发生形状变化，体积变形几乎为零，相应泊松比接近于0.5。假设塑性区体积在变形前后保持不变，可得

即

因为在式中是高阶小量，可以略去不计，得到

把式（6-4-26）代入式（6-4-29）得

（6）支护位移。

作用在支护外缘的径向应力为Pi，由厚壁筒原理可写出支护应力的计算式为

由此可得

式中　R1——支护内径；

E1、μ1——支护模量和泊松比。

（7）地层与支护之间的位移协调条件。

在洞周，围岩位移与支护位移应相等，所以可得

上式即为表示地层与支护位移之间位移协调条件的方程式。令

则式（6-4-34）可改写为

（8）R0和Pi值的计算。

将式（6-4-35）代入式（6-4-25），化简可得

上式为关于未知量R0的高次代数方程，可用牛顿迭代法求解。令该方程的未知数为R0/r0，则牛顿迭代法的迭代格式可写为

因为有式（6-4-37），所以可得

故可写出

求出R0/r0后即可得R0，代入式（6-4-35）即可求得Pi。

在双向不等压的受力状态下，因洞室周围地层在出现椭圆形塑性区时，塑性区外的地层应力将趋于均匀，故对这种受力状态可采用折算P值计算塑性区的平均半径R0和支护与地层间的平均相互作用力Pi。令

即可由双向等压受力区的计算式求出塑性区平均半径R0和支护与地层间的平均相互作用力Pi，并可据此近似设计衬砌断面。

4．围岩稳定性判据

隧道围岩丧失稳定乃是围岩二次应力与岩体强度特征的矛盾过程的发展结果。围岩的二次应力场是客观存在的，即使能造成隧道围岩的失稳破坏，也要具有一定的转化条件和转化过程。从工程设计的角度来看，这个转化条件就是所谓判据。严格地说，破坏判据应该是根据物理实验所获得的破坏机理而建立起来的材料破坏的力学法则，它必须包含具有一定物理意义的基准值以及表示材料状态的特征值，如应力状态或变形状态。众所周知，隧道围岩破坏机理十分复杂，目前，还没有从理论上建立起一个判别隧道围岩稳定性的标准方法。根据工程设计的实践经验，这个判据主要应包括以下两方面的内容：一是围岩的二次应力状态与岩体强度的关系；二是围岩的位移状态和岩体变形能力的关系。