车辆系统仿真理论与实践：线上求解法

适于偏微分方程的另一种数值解法是线上求解法，又称连续时间－离散空间法。它是将偏微分方程中的空间变量x进行离散化，时间变量仍保持连续，因此可将偏微分方程转化为一组常微分方程，被广泛用于分布参数系统的仿真。

仍以上节的问题为例，若将x轴以h为步长分为M份，即h＝l／M，则有

为M＋1个常微分方程。其中，∂2 u／∂x2可以用差分来近似表示，即

式中，um＋1（t）＝u（（m＋1）h，t），um（t）＝u（mh，t），um－1（t）＝u（（m－1）h，t）。

将式（2.4.21）代入式（2.4.20），可得M＋1个微分方程，即

只要求出fm（u，t），就可很方便地解出这M＋1个微分方程。例如，用欧拉法，则有

um，1＝um，0＋hfm（um，0，t0）

um，2＝um，1＋hfm（um，1，t1）

式中，um，0可由初始条件求出，fm（um，0，t0）可由初始条件及边界条件求出。

实际上，只要写出如式（2.4.20）的微分方程，则调用任何一种微分方程数值求解程序均可。由于首先是求出t1＝t0＋Δt这一时刻空间各点（m＝0，1，…，M）的值，然后再求出t2＝t1＋Δt这一时刻空间各点的值，因此这种方法被称为线上求解法。线上求解法的具体步骤可归结如下：

（1）将空间变量从起始点到终点分成M份；(www.xing528.com)

（2）用差分来近似对空间变量求导（这里要利用边界条件）；

（3）从起始时间开始，利用给定的初始条件用数值积分法求出下一时刻空间各点的函数值；

（4）用差分来近似对空间变量求导；

（5）计算下一时刻空间各点的函数值；

（6）重复（4）、（5）两步，直到规定的时刻为止。

因此，只需增加一些差分计算子程序，就可利用原有数值积分法及仿真程序进行计算。

线上求解法的优点是方法宜观、程序简单，比较容易被工程技术人员所掌握，但也有缺点，主要表现在以下方面。

（1）误差不易控制。数值积分法由于有误差估计，因此可以改变积分步长使计算精度限制在某个范围，但利用差分来近似对空间变量求导也会引进误差，而这部分误差不易估计，所以整个系统仿真的精度就很难控制。

（2）差分公式较多。在使用线上求解法时，选择哪一种差分公式不仅会影响计算精度，而且会影响计算时间。一般而言，采用多点进行差分要比用采少点进行差分准确一些。但是，有时点数多了反而会降低精度。因此，在选择差分公式上就带有一定的盲目性。通常对工程计算，建议采用三点或五点差分。

此外，空间离散的间距取多大也是线上求解法的一个重要问题。间距取得太大，计算误差将增大；间距取得太小，微分方程的个数将增加很多。例如，空间有两个变量的n阶偏微分方程——对时间求导是n阶，若空间两个变量分别被分成Mx、My份，则微分方程的个数为n（Mx＋1）（My＋1），所以计算时间将加大很多。考虑到时间计算步距可采用变步长方法，则线上求解法也可考虑空间离散时采用变间距的方案。由于涉及误差估计，因此该问题尚处研究阶段。