变步长法及车辆系统仿真理论与实践

在实际应用时，对前述数值积分法，仿真人员可根据实际情况在仿真的不同阶段选取不同的步长，这就是变步长法，如变步长龙格－库塔－默森（Runge－Kutta－Merson）法。步长选取的原则是，在保证仿真过程满足一定精度的前提下，为使计算量尽可能小，尽量选取适用的较大的步长，这样仿真步长需不断改变。变步长应根据一定的条件，其前提是要有一个好的局部误差估计公式，根据局部误差的大小来改变步长。对于龙格－库塔算法的误差估计，通常是设法找到另一个低阶（一般是低一阶）的龙格－库塔公式，要求这两个公式中的ki相同，则两个公式计算结果之差可以看作是误差。

假设微分方程为

计算公式为

式中，。

此为4阶5级公式，还可推导出一个3阶4级公式：

令误差

则

式（2.1.17）～式（2.1.19）简称为RKM3－4法。根据该步的绝对误差En，即可按步长的控制策略进行步长的控制，通常用对分策略。

设定一个最小误差限emin，一个最大误差限emax，每一步的局部误差取为

式中，En为变步长各式计算出的误差估计。

由式（2.1.20）可知，当　较大时，en是相对误差，而当很小时，en就成了绝对误差，这样可避免当值很小时，en变得过大。

其控制策略如下：

若en＞emax，则，重算此步；

若emin＜en＜emax，则hn＋1＝hn，继续计算；(www.xing528.com)

若en＜emin，则hn＋1＝2hn，继续计算。

这种对分策略简便易行，每步附加计算量小，但不能达到每步最优。还有一种最优步长控制策略，其基本思想是在保证精度的前提下，每个积分步取得最大步长（或称最优步长），这样可以减少计算量。具体做法是根据本步误差估计，近似确定下一步可能的最大步长，其策略如下：

对于k阶积分算法，认为

其中，φ（ξ）是f（y，t）在积分区间［tn，tn＋h］内一些偏导数的组合，通常可取ξ＝tn，则

据此作以下判断。

（1）若en＜ε0，则本步积分成功，现确定下一步的最大步长hn＋1。

假定hn＋1足够小，则φ（tn＋hn＋1）≈φ（tn），下一步误差为

为使en＋1≤ε0，即

则有

将式（2.1.22）代入上式得

（2）若en＞ε0，则本步失败，按式（2.1.23）求出一个积分步长，它表示重新积分的本步步长，再算一遍，即

由于假定了hn＋1足够小，因此φ（tn）基本不变，必须限制步长的缩小与放大，一般限制h的最大放大、缩小系数为10，即要求

有关最优步长控制，除此方法以外，还有吉尔（Gear）法等，可参阅相关文献。采用最优步长控制后，计算量明显减少，但上述两种控制方法对于f函数中含有间断特性的情况不适用，因为在间断点附近会出现步长频繁放大、缩小的振荡现象，而最优步长控制法是以本步误差外推下一步步长，所以振荡现象更为严重。