时序型关系的测验误差分析与评定

对于时序型关系，在有实测值的时间，推算值与实测值基本相等，推算值误差等于测验误差；在无实测值的时间，推算值需在连时序曲线或改正水位过程线、改正系数过程线上插补求得，此时推算值误差包括插补误差和测验误差。

在两个实测值之间的关系线上插补求得推算值，可认为是两点间的线性内插。现以改正系数过程线为例说明。设t0，t1时刻的实测值分别为K0，K1，由拉格朗日线性插值可知[57]，计算点t的插值函数为

显然，t=t0，=K0；t=t1，=K1。K0，K1为实测值，均存在测验误差，设其测验误差标准差相等且均为s（Km），步长h=t1-t0，由插值公式传递给插补值的测验误差方差为

显然，当t=t0或t=t1时，=s2（Km）。当t=（t0+t1）/2时，最小，其值为

于是，推算值误差方差可写为

式中：s2（Ktin）为推算值插补误差方差。

线性插值的插值误差为[57]

式中：f″（ξ）为被插值函数在区间内某一点ξ的二阶导数。

因使式（11-4-13）成立的ξ必定存在，故可认为f″（ξ）在区间内为常数。由此可知，当t=（t0+t1）/2，R（t）取最大值。实际上，插值误差是可变系统误差，随计算点t而变。对多个计算点，插值误差具有随机性，存在一个变化区间。这里说的插值误差实际是内插误差，也可称插补误差。

插补误差标准差可以利用现有资料测次减半的方法来估算[53]。设计算点实测值为Kt，真值为K0，则

相对误差形式为

对其进行标准差运算，得(www.xing528.com)

δKt是实测值与真值相对误差，只含有测验误差，故s（Kt）=s（Km）。是推算值与真值相对误差，包含测验误差和插值误差，故

所以

或

这就是用现有实测资料测次减半的方法计算插补误差标准差的公式[53]。用现有资料测次减半方法求得的插补误差标准差s′（Ktin）大于现有资料的插补误差标准差s（Ktin），应有

式中：λ为折减系数，文献[53]通过实测资料求得λ=0.5～0.7，一般可取λ=0.5。

例11-4-1 颍河界首站1956年水位流量关系分析[53]。测验误差标准差s（Km）=4.0%，通过现有测次减半方法求得s（K）=11.0%，插补误差标准差为

取λ=0.5，则

s(Ktin)=λs′(Ktin)=0.5×9.8%=4.9%

推算值误差标准差为

在有实测值时间，推算值误差标准差等于测验误差标准差，=s（Km）=4.0%，在两测次中间的推算值误差标准差=5.7%。