水文测验误差分析：不等权系数的引进与估计

第三节介绍了变量和的标准差传递公式，分析了第一种简化情况。现讨论第二种简化情况。假定：①各直接被测量标准差相等，即s（x1）=s（x2）=…=s（xm）=s（x）；②各直接被测量之间不存在相关关系，即rjk=0，j，k=1，2，…，m，j≠k。则变量和标准差传递公式成为

式中：是灵敏度系数的平方和。

当各直接被测量的值近似相等时，该平方和等于

设想一种极端情况，其中某一直接被测量的值大到与总和差不多，这时有

水文测验中遇到的情况绝大多数不属于上述两种极端情况，而属于各直接被测量的值既不相等，又不相差悬殊的情况，所以有

令

则

于是式（3-5-1）变为(www.xing528.com)

显然，在各直接被测量的数目m和标准差s（x）一定，且β=1时，函数标准差最小，β=m时，函数标准差最大，因而有

上述论证说明，在一变量和表示的测量系统中，应将各直接被测量尽量调整到近似相等，以使函数误差标准差接近最小。如果无法使各直接被测量近似相等，那么应在函数误差标准差的表达式中引进不等权系数，以避免函数标准差估计偏小而不符和实际情况。

在我国流量测验中，曾引进不等权系数α[16]，将式（3-5-7）写成下式

并对α作如下估计

式中：为m个直接被测量的平均值；xmax为各直接被测量的最大值。

显然有

应该指出的是，在实际工作中不能单纯追求误差标准差最小，因为这里涉及误差平衡问题。例如，在水道断面测量中，如果为了使误差标准差最小，应尽量使各部分面积接近相等，测深时，应根据初估的断面面积求得各部分面积，确定测深垂线位置。这样，由于测深垂线位置频繁变动可能增大测宽误差，而且由于为了追求等部分面积，有可能在一些本应布设测深垂线的河床地形转折点上未布设垂线，导致断面测量中的大割大补现象。因此，测量应该注意各个环节的协调和平衡，以免顾此失彼。