水文测验误差分析：自由度与不确定度的关系

在第一章中，曾涉及自由度这个概念，但并未作深入介绍。在不确定度评定中，为了知道评定不确定度的可靠性，应给出其自由度，而在计算扩展不确定度时，自由度则是其计算的依据。因此，确定各类不确定度的自由度非常必要。

自由度是指，在方差计算中，和的项数与总和的限制条件数之差。在计算实验标准偏差的公式中，实验方差为

其中残差为，因此和的项数即为残差的个数n，而υ1+υ2+…+υn=0是一个约束条件，即限制条件数为1，由此得自由度ν=n-1。

不确定度与自由度存在下述关系[13，14]，即

由第一章可知，统计量（n-1）s2/σ2服从自由度ν=n-1的χ2分布，其方差为

或

于是有

由于

令s≈σ，故有(www.xing528.com)

上式说明自由度与标准差的相对标准差的平方成反比，相对标准差愈小，自由度愈大，反之亦然。根据标准不确定度的定义，式（2-2-7）可写成式（2-2-2）。在以上诸式中，σ，s分别为总体和样本标准差；σ（s）为样本标准差的标准差；σ（u）为不确定度的标准差，也可以说是不确定度的不确定度；（）/σuu为相对标准不确定度。相对标准不确定度说明了不确定度估计的可靠程度。相对不确定度愈小，说明不确定度估计得愈可靠，而自由度又与相对不确定度的平方成反比，可见自由度愈大，说明不确定度估计得愈可靠。不确定度用来衡量测量结果的可靠性，自由度则是用来衡量不确定度的可靠性。因此，自由度也是衡量测量结果的附加指标。

单次测量标准差s（xi）、方差s2（xi）以及算术平均值标准差、方差的自由度均相同。

自由度的主要性质是[13，14]：

（1）尺度变换下的不变性。若u的自由度为ν，则当c为常数时，cu的自由度亦为ν。这可由式（2-2-2）证得。由该性质可知，由于，而单次测量值标准差s（xi）的自由度为ν=n-1，故算术平均值的实验标准差的自由度亦为ν=n-1。

（2）当z=∑Ckyk且各yk独立，Ck为常数，则有

当各Ck相等且Ck=1时，有

在计算合成不确定度的自由度时将用到该式。