水文现代化：河流水质迁移转化基本方程

如前所述，目前总是用一些水质指标来集中反映水体的污染特性。这些水质指标有反映污染物浓度的综合指标（如BOD5、CBOD、COD）、溶解氧浓度、藻类浓度、水温、浊度等。反映这些污染物在水体中运动、变化基本规律的方程称之为水质迁移转化基本方程。它是针对微元水体由水流连续性原理、能量守恒原理、物质转化与平衡原理而建立的，这些都是建立水质模型最基本的方程。在此基础上，结合不同污染物的不同特点，便可进一步建立相应的水质数学模型，如河流有机物与溶解氧模型（简称BOD—DO模型），水库温度模型、河流温度模型，水库富营养化模型、河流综合水质模型等，然后根据未来的排污情况对水体污染进行预测。水质迁移转化基本方程是一个相当复杂的微分方程，除在某些情况下能求得解析解外，一般都需要采用数值解法计算。

河流、湖泊、水库、河口等水体的污染问题，严格地说，都是三维结构。但实际上，往往可以根据混合情况，将某些水体的水质计算简化为二维、一维乃至零维来处理。例如一条中小河流的较长河段，其横向和竖向的污染浓度基本均匀，这时只考虑纵向（水流方向）的浓度变化就足以达到水质管理的要求。又如混合基本均匀的小型浅水湖泊，则可视作零维结构对待。这样既能保持要求的精度，又使计算工作大大简化。

6.5.2.1　零维水质迁移转化基本方程

如果将一个单元水体，如一个水库、一个湖泊、一个河段，看成完全混合的、水质浓度一致的反应单元。在微时段d t内，反应单元的入流流量为QI、污染浓度为CI，进入该单元水体后，由于反应单元内的搅拌混合作用，污染物瞬间即均匀分散至整个反应单元内，其污染浓度为C，流出的流量为Q。此时，可依据水量平衡和质量平衡原理建立稳态、非稳态情况的基本方程。

非稳态是指流量、污染浓度不稳定，随时间而变化的情况。反之，流量、浓度均不随时间而变化，则称稳态情况。后者实际上是前者的一种特例。

1.非稳态情况

（1）水量平衡基本方程。d t时间内由入口进入单元水体的水量为QId t，从出口排出的水量为Q d t，其差值必为d t内反应单元的蓄水增量d V，于是得水量平衡基本方程为：

根据入流QI和水体蓄泄关系V＝f（Q），由上式可解得水体的蓄水变化V（t）和出流过程Q（t），为下面应用水质迁移转化方程进行水质模拟预测提供必需的水动力学条件。

（2）水质迁移转化基本方程。d t时段内由入口进入单元的污染物量为QICId t，从出口排出量为QC d t，污染物在该单元水体中由于各种作用引起的转化增量为V∑Sid t，进入量减排出量加上转化增量应等于d f间污染物的变化量d VC，即：

整理后，得水质迁移转化基本方程为：

式中：C为反应单元内t时的污染物浓度，mg/L；CI为流入反应单元的水流污染物浓度，mg/L；QI、Q分别为t时流入、流出反应单元的流量，m3/s；V为反应单元内水的体积，L；∑Si为反应单元的源漏项，表示各种作用（如生物降解作用，沉降作用等）使单位水体的某项污染物在单位时间内的变化量，mg/（L·d）。增加时取正号，称源；减少时取负号，称漏。

当反应单元内的源漏项∑Si仅为反应衰减项，即－K1C，且V近似为常数时，则零维水质迁移转化基本方程变为：

简化为：

式中：K1为污染物的降解系数，d－1。

2.稳态情况

（1）水量平衡基本方程。稳态时，，则有：Q＝QI＝常量。即反应单元的出流等于入流，反应单元没有调节作用，蓄水量保持不变。

（2）水质迁移转化基本方程。稳态时，，Q＝QI，V为常数，有：

6.5.2.2　一维水质迁移转化基本方程

对于河流来说，其深度和宽度相对于它的长度是非常小的，排入河流的污水，经过一段距排污口很短的距离，便可在断面上混合均匀。因此，绝大多数的河流水质计算常常简化为一维水质问题，即假定污染浓度在断面上均匀一致，只随流程变化。

1.水流运动基本方程

连续方程：(www.xing528.com)

动力方程：

式中：z为水位；为代表水面坡降；u为流速；为迁移加速度引起的惯性项坡降；为当地加速度引起的惯性项坡降；Cn、R分别为河段的谢才系数和水力半径；为摩阻坡降；q为区间入流；为区间入流对水面坡降的影响；A为河流过水断面面积。

由水文气象和河段地形等资料，联解连续方程、动力方程，可求得河段的水位z、流量Q、流速u、水深H等水力因素沿流程x和时间t的变化。这步工作常在解算水质迁移转化方程之前完成，作为求解水质方程的条件给出。但当水质因素（如水温）对水流运动有明显影响时，则要同时联解水流、水质方程。

2.水质基本方程

一维水质迁移转化基本方程：

对于均匀河段，此时上式可写为：

如果纵向离散系数E为常数，可得最常看到的河流一维水质迁移转化基本方程形式：

式中：C为河段中某种污染物的浓度，mg/L；t为时间，d；x为河水的流动距离，km；u为河段水流的平均流速，km/d；E为河段水流的纵向离散系数，km2/d；∑Si为河段水体污染物的源漏项，mg/（L·d）。

对于均匀河段当流量和排污稳定时，各断面的污染浓度不随时间变化，即，则得稳态的一维迁移转化基本方程为：

6.5.2.3　二维水质迁移转化基本方程

二维水质问题可分为水平二维和竖向二维两种情况，前者是指水体的流速和污染浓度仅在水平面的纵向、横向变化，在竖向（水深方向）混合均匀，例如浅水湖泊的水质问题常可简化为水平二维来处理；后者是指水体的流速和污染浓度仅在纵向和水深方向变化，在横向（宽度方向）保持不变，例如河道型水库，由于沿水深方向常常出现温度分层现象，使水温、污染物浓度随深度和水流方向变化较大，对于同一水层横向则比较一致，这时常可简化为竖向二维问题来考虑。

1.水平二维水质迁移转化基本方程

沿水深方向截取一个长为d x、宽为d y、高为水深H的柱体，类似推导一维水质迁移转化方程那样，根据质量平衡原理，即可得到水平二维水质迁移转化基本方程为：

式中：Ex为x方向的分子扩散系数、紊动扩散系数和离散系数之和；Ey为y方向的分子扩散系数、紊动扩散系数和离散系数之和。

2.竖向二维水质迁移转化基本方程

沿横向取一微元的方形柱体，竖向高d z、纵向长d x、横向长度为河宽B，根据质量平衡原理，类似上面一样，可导出竖向二维水质迁移砖化方程为：

式中：Ex为z方向的分子扩散系数、紊动扩散系数和离散系数之和。

6.5.2.4　三维水质迁移转化基本方程

采用类似一维河流的水质迁移转化基本方程的推导过程，可以就一个具有x、y、z坐标的三维空间中任一微小水团（近似一个点）导得某种污染物的浓度随时间的变化率与该处污染物的移流输移、分子扩散和紊动扩散输移及源漏项的关系，其表达式为：

上述的三维水质迁移转化方程是对水体中任一微小水团建立的，显然没有涉及用断面平均流速和断面平均浓度来概化地描述污染物通过断面输送的问题，因此在扩散输移中就没有离散作用的输移项，即对于微小水团三个方向的离散系数全为零。三维水质扩散迁移方程适合于竖向、横向、纵向都没有均匀混合的水域，是描述污染浓度随时间空间变化理论上最完整的水质方程。但要求解和应用它，需要分别知道某时刻空间位置上的污染浓度，以及u、v、w、Em、Etx、Ety、Etz、∑Si等，而这些值又涉及物理、化学、生物学许多因素，因此是极为困难的。实际应用上，常需要针对水体中污染物的不同进行各种简化，如简化为二维、一维或零维。