天线产品在完成结构设计后，需要进行力学分析，以验证结构强度、刚度是否满足卫星设计与建造规范要求。天线产品典型力学分析流程如图9-5所示，首先需要确保力学分析模型建模的准确性，对天线产品，一般需要进行模态分析、正弦振动分析、随机振动分析、热变形及热应力分析等。分析结果可以为试验提供指导，同时，试验结果可以用来验证分析模型的准确性并指导模型修正。
1.分析模型建模方式
结构分析模型的建立是指把实际结构转化为一个可以进行分析计算的数学模型。一般地，分析模型会对实际结构进行不同程度的简化，但仍保持结构的主要力学特性。分析模型的建立是结构分析中非常重要的环节，可在很大程度上决定分析结果的合理性和正确性。
图9-5 典型天线产品结构力学分析流程
（1）结构几何特征的确定
在力学分析建模时，首先要确定结构的几何特征。结构的几何特征是指构件具有杆、梁、板壳、体之类的特征。在结构简化过程中，可将其抽象为线、面或者体，进而简化为杆、梁、板壳、体。
如螺旋线可以简化为梁单元，如图9-6（a）所示。支架可以简化为板壳元，如图9-6（b）所示。
图9-6 结构建模简化示例
（a）梁单元在天线结构力学分析中的应用；（b）板壳元在天线结构力学分析中的应用
此外，结构较复杂的支架类零件可以简化为体单元，如图9-7所示。
（2）连接条件和边界条件的确定
天线结构中的焊接、螺接等连接方式可以简化为刚性单元，如图9-8所示。
图9-7 体单元在天线结构力学分析中的应用
图9-8 焊接在天线结构力学分析中的简化方式
天线结构中的螺钉连接，可以将螺钉简化为梁单元，然后通过刚性单元与被连接件连接，如图9-9所示。
在边界条件方面，通过对分析结果与试验结果的对比及改进，发现采用下述方法时，分析结果与试验结果吻合较好，即在建模时画出螺钉连接孔，孔边局部适当加密，然后将螺钉连接孔处节点固支，如图9-10所示。
图9-9 螺钉连接在天线结构力学分析中的简化方式
图9-10 边界条件的简化
（3）单元特性的定义
单元特性的定义是指对单元赋予材料和截面特性。
根据所使用的结构材料以及所分析的内容定义材料的力学性能参数，一般情况下，金属材料按各向同性材料定义，复合材料以及蜂窝芯子按正交各向异性材料定义。
在应用板单元时，普通金属薄壁只需定义厚度，对于夹层板或层合复合材料可按层合板定义（即依据每个单层的特性来定义）。
图9-11 板壳元截面属性
可将板壳元根据厚度不同分成不同区域，分别赋予截面属性，如图9-11所示；也可将梁单元根据截面面积不同分成不同区段，分别赋予截面属性，如图9-12所示。
（4）计算分析模型的检验
为了建立一个有效的结构分析模型，需要对分析模型进行检验，以保证分析模型的正确性。常用的分析模型检验方法有质量特性检验、自由模态检验、刚度检查等。
图9-12 梁单元截面属性
2）自由模态检验。一个未受边界约束的结构应该有6个固有频率为零的刚体模态。检验时将边界约束条件放开，如果分析结果少于6个零模态，就说明模型有多余的约束；如果分析结果多于6个零模态，就说明模态为“机构”状态，也就是对结构缺少足够的约束。
3）刚度检查。一个未受约束的结构，在一个节点沿每个平移和转动方向施加一个单位位移，所产生的单元载荷或应变应该接近于零。这一方法用于检查不适当的单元之间连接和不需要的边界条件。
2.模态分析
结构模态分析的目的是要分析整个航天器或主要部件的模态，包括固有频率及其相应的振型（模态形状）。
自由振动的特征方程为
模态分析就是根据已知的刚度矩阵K和质量矩阵M求解特征方程来得到模态频率ω和与之对应的振型φ，并且分析振型φ的特征。
此外，通过模态的有效质量计算可以判定一个模态是整体模态（主要模态）还是局部模态，以及模态的方向。
3.频率响应分析
结构频率响应分析是结构在基础正弦激励条件下的响应分析。
正弦激励随频率的分布一般用位移幅值和加速度幅值分段表示。因此，在分析中需要转化为统一的单位，一般统一采用加速度幅值表示。表9-3所示为组件鉴定级正弦振动的通用试验条件。
表9-3 组件鉴定级正弦振动的通用试验条件
在天线结构的正弦振动分析中，应将5～20 Hz时所对应的试验量级由位移转换为加速度，其转换过程如下：
正弦振动、加速度幅值与位移幅值的关系：
其中，d为位移幅值，a为加速度幅值，ω为角频率，ω=2πf，则，加速度幅值a与位移幅值d之间的关系为：
如果以重力加速度g（=9 800 mm/s2）作为单位，则(www.xing528.com)
频率为5 Hz时所对应的加速度值为
因此，天线结构正弦振动的输入曲线如图9-13所示。
图9-13 正弦振动分析输入
此外，在频响分析中，阻尼比的选取有着重要影响。阻尼比ξ表示系统消耗振动能量的能力。如果两个振动系统的固有频率相同，则阻尼比ξ较大的系统的自由振动衰减得较快。如果两个系统的阻尼比相同，则具有较高固有频率系统的自由振动衰减较快。δ表示相邻振幅之比的自然对数，它只与阻尼比ξ有关，如式（9-8）所示
当ξ≪1时，常用式（9-9）所示的近似公式表示
在振动试验中，可以测出系统阻尼自由振动时的响应，求出对数衰减率，进而得到系统的阻尼比。在随机振动分析中，只要准确输入共振峰处的阻尼比，就可得到满足精度要求的结果，其他频段的阻尼精度可以相对放宽一些。金属结构阻尼较小，一般取阻尼比2%～3%；复合材料结构阻尼较大，一般可取5%～8%。在天线结构的随机振动分析中，通过对分析结果与试验结果的比对，发现当临界阻尼比取2%的时候，分析结果与试验结果较为接近。
4.随机振动分析
随机振动采用在频域范围上的功率谱密度函数来表示，随机振动载荷一般用加速度功率谱密度来表示。随机振动描述的主要参量有：功率谱密度、均方根加速度、频率范围等。功率谱密度，表示随机信号各频率分量所包含的功率在频率域的分布情况，通常用W表示。对于随机信号，因其包含频率分量丰富，故加速度应以总均方根值来计算。实际工作中随机振动试验的各种条件均采用双对数坐标来标定试验的振动量值。图9-14和图9-15分别表示采用双对数坐标标定的上升谱和下降谱。
图9-14 上升谱
图9-15 下降谱
上升谱和下降谱的函数表达式分别如式（9-10）和式（9-11）所示
下面将举例说明式（9-10）和式（9-11）在实际工作中的应用。某卫星的组件级随机振动载荷如表9-4所示。
表9-4 某卫星的组件级随机振动试验条件
则，频率为10 Hz时所对应的鉴定级功率谱密度为
频率为2 000 Hz时所对应的鉴定级功率谱密度为
因此，表9-4所提供的鉴定级随机振动条件可转化为图9-16所示的曲线，从而输入有限元软件中进行计算。
图9-16 鉴定级随机振动曲线
5.安全裕度
在卫星的设计与建造规范中规定，对于屈服和强度极限载荷条件，设备的结构部件都应具有正的安全裕度：
式中，M.S.为安全裕度；Sa为许用应力（屈服极限和强度极限）；Se为鉴定载荷与相应安全因子之积产生的应力。
对于不同材料，安全裕度应该满足表9-5所示要求。
表9-5 安全裕度
通过力学分析，可以计算天线结构在频率响应分析以及随机振动分析中对应的安全裕度。
在天线结构频率响应分析中，分析条件按照鉴定级载荷条件输入，从分析结果中可以获取不同零部件的最大应力。在计算安全裕度时，式（9-14）中Se为最大应力与安全因子的乘积产生的应力。
在天线结构随机振动分析中，分析结果是否满足要求，也是通过安全裕度来反映的。在工程中，大量的随机振动可以认为是正态随机过程。正态随机过程是指随机过程的概率密度函数是正态的。对均值μx为零的正态过程X（t），它在区间（-3σx，σ）以外取值的概率为0.27%，σx为X的均方根（Root Mean Square，RMS）值。因此，X的最大值可取为3σx。
在天线结构的随机振动分析中，应用3σ准则校核结构的安全裕度，即应力不超过3σ值的概率是99.73%。选取天线结构中每个零部件的最大应力均方根值σ，然后乘以3，得到各部件的最大3σ应力。在计算安全裕度时，Se为3σ应力与安全因子的乘积产生的应力。
6.分析实例
下面以某定向天线力学分析为例进行力学分析，该定向天线含反射面、馈源、反射面支架、双轴驱动机构、压紧释放机构、轴间支架和底座，且在反射面边缘，有精测用立方镜及安装附属件。在建模过程中，反射面、反射面支架、轴间支架和底座可以用壳元模拟；馈源采用壳元和梁元模拟；双轴驱动机构外壳用壳元模拟，并用Bush元模拟其刚度，赋予单轴扭转刚度和弯曲刚度；压紧机构外壳用壳元模拟，压紧杆用梁元模拟；立方镜及附属件用质量元模拟。建立的定向天线力学分析模型如图9-17所示。
在进行模态分析时，将底座安装点固支，可计算出其固有频率值及对应的振型，第一阶频率为84.25 Hz，对应的振型如图9-18所示。
图9-17 定向天线有限元模型
图9-18 第一阶的振型
频率响应分析结果表明，定向天线反射面及馈源根部的应力较大，分别如图9-19和图9-20所示，按照式（9-14）计算其安全裕度，反射面和馈源的安全裕度分别为0.51和1.67，满足表9-5所示的安全裕度要求。
随机振动分析结果表明，反射面和馈源的最大应力分别为17.7 MPa和56.5 MPa，按照式（9-14）计算其安全裕度，反射面和馈源的安全裕度分别为1.84和1.36，满足表9-5所示的安全裕度要求。
图9-19 反射面最大应力云图
图9-20 馈源最大应力云图
通过对定向天线进行力学分析，模态分析结果表明其一阶基频为84.25 Hz，对应的振型为反射面局部翘曲。频率响应分析和随机振动分析结果表明，各零部件的安全裕度均满足设计要求。
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