平面与球体交线：截交线形状分析

平面截切球体时，不管截切面的位置如何，截交线的空间形状总是圆。当截切面倾斜于投影面时，截交线在该面上的投影为椭圆。

例4-6　如图4-14所示，已知球被正垂面P截切，求被截切后球的H面和W面投影。

图4-14　圆球被正垂面截切的截交线的画法

分析　由于截平面P为正垂面，所以截交线是一个正垂圆。截交线的V面投影为直线，反映截交线圆的直径的实长。截交线的H面和W面投影为椭圆。

作图　利用球面上作点的方法作出椭圆上的若干个点。

（1）求作椭圆长、短轴的端点。如图4-14（b）所示，由截交线的V面投影可知椭圆长、短轴端点C、D、A、B的V面投影c′、d′、a′、b′，根据投影规律，作出c、d、a、b和c″、d″、a″、b″。(www.xing528.com)

（2）求作球面轮廓线上的点。如图4-14（c）所示，由截交线的V面投影可知球面水平轮廓线上的点Ⅰ、Ⅱ的V面投影1′、2′，球面侧面轮廓线上的点Ⅲ、Ⅳ的V面投影3′、4′，根据投影规律，作出1、2、3、4和1″、2″、3″、4″。

（3）用光滑的曲线把各点连接成椭圆曲线，即为所求（见图4-14（d））。

例4-7　如图4-15（a）所示，已知带切口半球的V面投影，求作H面和W面投影。

分析　半球的切口由一个水平截平面和两个侧平截平面组成，并对称于半球的对称面。水平截平面与半球的截交线为圆，在H面投影中反映为圆的实形。侧平截平面与半球的截交线为半圆，在W面投影中反映为半圆实形。

图4-15　半球体被截平面截切的截交线画法

作图　如图4-15（b）所示，求出截交线圆的半径R1和R2，在H面投影中，以R1为半径、以半球面的H面投影圆的圆心为圆心画圆，由投影规律“长对正”，得截交线的H面投影。在W面投影中，以R2为半径，以半球面的W面投影的圆心为圆心画半圆弧，由投影规律“高平齐”，得截交线的W面投影。两截平面的交线（是一段正垂线）在W面投影中不可见，应画成虚线。